joli inegalite

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Code:

soit    a,b,c >0    tel que          a+b+c=1

monter que  1/a+1/b+1/c>=9

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application directe de C.S
merci en tous cas

comment ca

comment ?

d'accord :

tu rappeles l'inégalité de caushy shwarz qui dit :

pour tous vecteurs u et v

lUl * lVl >= U.V (. veut dire produit scalaire )
<==>

U^2. V^2 >= ( U.V )^2

et si on a choisi les vecteurs dont les coordonnées sont

U(Va,Vb,Vc) et V(1/Va,1/Vb, 1/Vc) ( V dire racine carré )

on va trouver

( Va^2 + Vb^2 +Vc^2 ) ( 1/Va^2 + 1/Vb^2 + 1/Vc^2 )

>= ( Va/Va + Vb/ Vb + Vc/Vc ) ^2


<==> ( a+b+c) ( 1/a+1/b+1/c) >= 9

<==> 1/a+1/b+1/c >=9

ou bien on peut multiplier (1/a+1/b+1/c) par (a+b+c)
on developpant on aura 1+b/a +a/b +1 +a/c +c/a +1 +b/c +c/b
or on sait que x/y +y/x>=2
dpnc (1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)= (1/a+1/b+1/c) >=2+2+2+3=9

Code:

merci bonne solution lazarov

mon solution

nous avons  a+b>=2(racine)ab pour tou a et b de R*+

danc (a+b)(a+c)(b+c)>=8abc

a+b+c=1    alors  (1-c)(1-b)(1-a)>=8abc
on developpant  on aura le resultat 
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