Joli exo

Soit a, b et c des nombres réels. Considérons les équations suivantes :

(E1) : x² - 2ax + bc = 0
(E2) : x² - 2bx + ca = 0
(E2) : x² - 2cx + ab = 0

Montrer qu'au moins une de ses équations admet une solution.

bonjour
on suppose qu'aucune de ces equations n'admet une solution,alors leurs (Delta)s sont strictement négatifs
D_1=4a²-4bc <0
D_2=4b²-4ca <0
D_3=4c²-4ab <0
alors
a²+b²+c²<ab+bc+ca absurde


parce que pour tt a b c de IR
a²+b²>=2ab
b²+c²>=2bc
a²+c²>=2ac
donc 2(a²+b²+c²)>=2(ab+bc+ca)
=>(a²+b²+c²)>=(ab+bc+ca)

On suppose le contraire : donc e1 et e2 et e3 n'admettent pas de solutions :donc tous les deltas sont strictement négatifs 'où:
4a²-4bc <0 et 4b²-4ac<0 et 4c² -4ab<0
a²-bc<0 et b² -ac<0 et c² -ab<0
a²<bc et b² <ac et c²<ab
2a²<2bc et 2b²<2ac et 2c² <2ab
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)² <0 : contradiction
donc : au moins une de ses équations admet une solution

Ouais! C'est juste! Bravo! Mais j'ai trouvé trois méthodes différentes! Je vais les écrire maintenant!

Je serais reconnaissante !

Supposons que les trois équations n'admettent pas des solutions alors :

Delta 1 < 0 et Delta 2 < 0 et Delta 3 <0
c²-ab < 0 et b²-ac < 0 et a²-bc < 0
Alors :
c² < ab et b²<ac et a²<bc

Méthode 1 :
c² < ab et b²<ac et a²<bc
Alors ab et ac et bc sont positifs.
Alors :
(1/bc).c² < (1/bc).ab et (1/ba).b² < (1/ba).ac et (1/ac).a² < (1/ac).bc
Alors:
c/b < a/c et b/a < c/b et a/c < b/a
Ce que veut dire : a/c < b/a < c/b < a/c
Ce qui est absurde, alors au moins une de ces équations admet une solution.


Méthode 2 :

On a : a² < bc
b² < ac
c² < ab
En multipliant : a²b²c² < bc.ac.ab
a²b²c² < a²b²c²
Ce qui est absurde, alors au moins une de ces équations admet une solution.


Méthode 3 :
Selon IAG on écrit :
a² + b² > 2ab (ou égale)
b² + c² > 2bc (ou égale)
a² + c² > 2ac (ou égale)
En sommant :
2(a²+b²+c²) > 2(ab+bc+ca) (ou égale)
a²+b²+c² > ab+bc+ca (ou égale)
Et on a selon notre supposition :
a² < bc
b² < ca
c² < ab
Alors : a²+b²+c² < ab+ac+bc
Ce qui est absurde, alors au moins une de ces équations admet une solution.

Fini!