Limite: Arctang

Lim(x---->0+) ( 3V( arctanx²/x²) - 1 )/(sin x)


(3V : racine 3éme)

Alors?

la règle de l'hôpital marche bel et bien....

radouane_BNE a écrit:

la règle de l'hôpital marche bel et bien....

Cette régle est dans le programme ???

Non mais je vois qu'il n'ya meme pas de forme indétérminée en utilisant un petit changement de variable t=x² et utiliser la limite usuelle au voisiage de 0 : arctant/t = 1
La limite tend alors vers +infini vu que à droite de 0 la fonction sinus est positive!

Je pense pas ..arctant/t=1-1=0 :s

Daprés ton ecriture ca va etre 3-1 vu que tu multiplies par trois ... Peut etre que j'ai mal intérprété lecriture

Othmaan, je suis désolé ..c'est ma faute:
3V= racine troisiéme..pardon

Isolé a écrit:

Lim(x---->0+) F(x)=((ARCTAN(x²)/x²)^(1/3) - 1 )/(SIN(x))

BJR Isolé !!

Commençons par une Identité Remarquable
A^3-B^3=(A-B).(A^2 + A.B + B^2)
et si on y remplace A par u^(1/3) et B par v^(1/3) , on obtient celle-ci
u-v=(u^(1/3) - v^(1/3)).(u^(2/3)+(u.v)^(1/3)+v^(2/3))
et si v=1 , on aura :
u-1=(u^(1/3) - 1).(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)
qui s'écrit aussi:
u^(1/3) - 1=(u-1)/{u^(2/3)+ u^(1/3)+1}

Tu me vois venir maintenant !! Je vais remplacer u par ARCTAN(x²)/x²
pour enfin écrire
F(x)={((ARCTAN(x²)/x²))-1)/SIN(x)}.{1/(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)}

Remarque la chose suivante :
Lorsque x ----> 0 , x<>0 u=ARCTAN(x²)/x² ------> 1
Par conséquent le terme {1/(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)} tendra vers (1/3) et ne posera aucun souci !!
Par suite , la limite que tu cherches lorsque x---->0+ , c'est aussi :
Lim (1/3){((ARCTAN(x²)/x²))-1)/SIN(x)}=(1/3).Lim {(ARCTAN(x²)-x²)/x^3}/{SIN(x)/x}

Finalement , puisque Lim SIN(x)/x =1 lorsque x----> 0 alors , TA LIMITE c'est aussi :
Lim (1/3).(ARCTAN(x²)-x²)/x^3 lorsque x----->0+


Tu peux t'amuser à prouver l'ENCADREMENT suivant ( Voir Al-Moufid BACSM Tome II Page 118 ):

Pour tout t dans IR+* on a 0 <= t-ARCTAN(t) <=(t^3/3)

Lequel encadrement te donnera ( en remplaçant t par x² ) : -x^3/3 <=(ARCTAN(x²)-x²)/x^3 <=0
tant que x<>0 et le Théorème des GENDARMES te donnera enfin que

Lim(x---->0+) F(x)=((ARCTAN(x²)/x²)^(1/3) - 1 )/(SIN(x)) = 0

PS : ce n'est pas évident !! Toutes les limites intermédiaires sont classiques et vues en BACSM !!

Bison_Fûté a écrit:

Commençons par une Identité Remarquable
A^3-B^3=(A-B).(A^2 + A.B + B^2)
et si on y remplace A par u^(1/3) et B par v^(1/3) , on obtient celle-ci
u-v=(u^(1/3) - v^(1/3)).(u^(2/3)+(u.v)^(1/3)+v^(2/3))
et si v=1 , on aura :
u-1=(u^(1/3) - 1).(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)
qui s'écrit aussi:
u^(1/3) - 1=(u-1)/{u^(2/3)+ u^(1/3)+1}

Tu me vois venir maintenant !! Je vais remplacer u par ARCTAN(x²)/x²
pour enfin écrire
F(x)={((ARCTAN(x²)/x²))-1)/SIN(x)}.{1/(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)}

Remarque la chose suivante :
Lorsque x ----> 0 , x<>0 u=ARCTAN(x²)/x² ------> 1
Par conséquent le terme {1/(u^(2/3)+ u^(1/3)+1)} tendra vers (1/3) et ne posera aucun souci !!
Par suite , la limite que tu cherches lorsque x---->0+ , c'est aussi :
Lim (1/3){((ARCTAN(x²)/x²))-1)/SIN(x)}=(1/3).Lim {(ARCTAN(x²)-x²)/x^3}/{SIN(x)/x}

Finalement , puisque Lim SIN(x)/x =1 lorsque x----> 0 alors , TA LIMITE c'est aussi :
Lim (1/3).(ARCTAN(x²)-x²)/x^3 lorsque x----->0+


Tu peux t'amuser à prouver l'ENCADREMENT suivant ( Voir Al-Moufid BACSM Tome II Page 118 ):

Pour tout t dans IR+* on a 0 <= t-ARCTAN(t) <=(t^3/3)

Lequel encadrement te donnera ( en remplaçant t par x² ) : -x^3/3 <=(ARCTAN(x²)-x²)/x^3 <=0
tant que x<>0 et le Théorème des GENDARMES te donnera enfin que

Lim(x---->0+) F(x)=((ARCTAN(x²)/x²)^(1/3) - 1 )/(SIN(x)) = 0

PS : ce n'est pas évident !! Toutes les limites intermédiaires sont classiques et vues en BACSM !!

Avoir le temps et la gentillesse pour rédiger cette longue solution est vraiment quelques choses de très sympas.

radouane_BNE a écrit:

Avoir le temps et la gentillesse pour rédiger cette longue solution est vraiment quelques choses de très sympas.

BJR Radouane !!
Très Heureux de te retrouver de nouveau au terme de ton année à Sup'Aéro .....
Vive les Vacances en Famille !!
Merci pour ces Propos Gentils et Bonne Continuation !!!

LHASSANE

PS : Excellente initiative ces IMMO !! Go Ahead Alors ....
Il ne faut pas attendre Godot ....

bonjour
comment on révise le programme de 2bac sm pendant cet été

en se reposant très bien !

radouane_BNE a écrit:

en se reposant très bien !

+1

Koka a écrit:

bonjour
comment on révise le programme de 2bac sm pendant cet été

BSR !!
Tu as fait là un DETOURNEMENT de Topic !!
C'est prohibé ( Voir la Charte du Forum )
Ce Topic , à l'origine , concerne la Recherche d'une Limite relative à l'ARCTAN(.) !!

Il aurait fallu créer un autre Topic pour poser ta Question !!!

C'est ce genre de choses qui conduit à une certaine pagaille sur le Forum et il n'y a pas que celà !!!

1) Le Forum n'a plus d'Admin , l'Admin et son adjoint sont aux Abonnés Absents ......
2) Il n'y a plus de Modérateurs à l'exception de Radouane qui déploie tous ses efforts ......
3) Le Forum est comme un bateau fantôme qui va à la dérive dans le brouillard .

C'est désolant et Je n'y peux rien , du reste , Je prépare Mon Départ en Douceur vers d'Autres Rivages car en fait
<< Je N'en Ai Rien à Cirer de Tout Celà !! >>

LHASSANE