limite d' une suite implicite: (u_n)^n +arctang(u_n)=1

on considere
fn(x)=x^n+arctan(x)
si n =0 alors f0(x)=1+arctanx
donc f0(Un)=1+arctan(Un)=1==>Un=U0=0
si n>=1
alors on aura
fn(x)=x^n+arctan(x)
fn sitrctement croissante sur [0.1] et continue sur [0.1] donc bijection de [0.1] vers [f(0).f(1)]=[0.1+arctan(1)]=J
comme 1 e J alors E!Un e [0.1[/f(Un)=1
donc 0<=Un<1 qqsoit n de N* ==>(Un) n'est pas divergente(lim Un# +00 et limUn#-00
supposons que (Un) convergente
alors limUn=l avec l e [0.1]
si Un e [0.1[ alors limUn^n=0
et comme on a limUn^n+arctanUn=1=>limarctanUn=1
la fonction tan continue en 1 alors lim Un=tan1 mais tan1>1
alors la supposition en gras est fausse donc (Un) n'est pas convergente
sauf erreur

c'est lexo 104 de la page 139 du livre almoufid.
Moi jai reussi a faire la 1 ere question
la 2 jai bcp reflechi mais jai rien trouvé

L a écrit:

on considere
fn(x)=x^n+arctan(x)
si n =0 alors f0(x)=1+arctanx
donc f0(Un)=1+arctan(Un)=1==>Un=U0=0
si n>=1
alors on aura
fn(x)=x^n+arctan(x)
fn sitrctement croissante sur [0.1] et continue sur [0.1] donc bijection de [0.1] vers [f(0).f(1)]=[0.1+arctan(1)]=J
comme 1 e J alors E!Un e [0.1[/f(Un)=1
donc 0<=Un<1 qqsoit n de N* ==>(Un) n'est pas divergente(lim Un# +00 et limUn#-00
supposons que (Un) convergente
alors limUn=l avec l e [0.1]
si Un e [0.1[ alors limUn^n=0
et comme on a limUn^n+arctanUn=1=>limarctanUn=1
la fonction tan continue en 1 alors lim Un=tan1 mais tan1>1
alors la supposition en gras est fausse donc (Un) n'est pas convergente
sauf erreur

slt L je crois que tu dois démontrer que Un est convergente;puis(aprés ce que tu as fais) conclure que l=1 ?

inconnue a écrit:

c'est lexo 104 de la page 139 du livre almoufid.
Moi jai reussi a faire la 1 ere question
la 2 jai bcp reflechi mais jai rien trouvé

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Zineb !!

Pour cette question qui te cause tant de soucis !!
Voilà des éléments concrets de réponse !
Il faut toutefois rappeler que :
1) Chaque fonction fn(.) est strictement monotone CROISSANTE sur ]0;1[
2) fn(.) est NEGATIVE STRICT sur ]0;xn[ et POSITIVE STRICT sur ]xn;1[
3) Pour tout x dans ]0;1[ on a 0<x^(n+1)<x^n<1 donc
f(n+1)(x)<fn(x)
En particulier , si on fait x=x(n+1) alors
0=f(n+1)(x(n+1))<fn(x(n+1)) ainsi fn(x(n+1))>0 et DONC xn<x(n+1)
On en conclut que
la suite {xn}n est STRICTEMENT CROISSANTE et comme elle est majorée par 1
ALORS elle converge vers une limite notée L et on a 0<L<=1

Reste à prouver que L=1 !!
Raisonnons par l'absurde .... Supposons donc que 0<L<1
alors écrivons d'une autre manière l'équation vérifiée par xn :
on peut écrire xn={1-Arctan(xn)}^(1/n)=exp{(1/n).Ln{1-Arctan(xn)}} pour chaque entier n>=1
Quand n----->+oo
Arctan(xn)----> Arctan(L) en raison de la continuité de Arctan(.)
1-Arctan(xn)------> 1-Arctan(L)
Ln{1-Arctan(xn)}-----> Ln{1-Arctan(L)} par continuité de Ln(.)
(1/n)----->0
Par conséquent exp{(1/n).Ln{1-Arctan(xn)}} -----> exp(0)=1
donc par passage à la limite quand n---->+oo dans l'égalité
xn=exp{(1/n).Ln{1-Arctan(xn)}}
on doit avoir L=1
Ce qui est CONTRADICTOIRE avec 0<L<1

En conclusion : Limxn=1 quand n----->+oo

[quote="Oeil_de_Lynx"]

inconnue a écrit:

c'est lexo 104 de la page 139 du
1) Chaque fonction fn(.) est strictement monotone CROISSANTE sur ]0;1[
2) fn(.) est NEGATIVE STRICT sur ]0;xn[ et POSITIVE STRICT sur ]xn;1[
[/b][/color]

Merci Mr de votre reponse
je n'ai pas compris ce qui est cite en haut
je tiens aussi a m'excuser d'avoir ecrit
Un e [0.1[==>lim Un^n=0

Oeil_de_Lynx a écrit:

....Voilà des éléments concrets de réponse !
Il faut toutefois rappeler que :
1) Chaque fonction fn(.) est strictement monotone CROISSANTE sur ]0;1[
2) fn(.) est NEGATIVE STRICT sur ]0;xn[ et POSITIVE STRICT sur ]xn;1[
......

BSR L !!
Pour tout n entier , la fonction fn(.) est en fait strictement CROISSANTE sur IR+ en tant que SOMME des deux fonctions :
x---------> x^n -1 croissante sur IR+ ( éventuellement constante si n=0 )
et
x---------> Artan(x) qui est strictement croissante sur IR tout entier !!!!
Quand on se place sur ]0;1[ alors fn(.) demeure strictement croissante , s'annulle en un unique point selon le TVI que l'on a noté xn
Par conséquent si x et z sont dans ]0;1[ et tels que x<xn<z alors
fn(x)<fn(xn)<fn(z) soit fn(x)<0<fn(z) d'ou la conclusion que :
fn est strictement négative sur ]0;xn[ et strictement positive sur ]xn;1[ .

Sa te va mnt ???!!!
Allé a+++

Mais y a til une autre méthode sans le passage aux fcts Ln et Exp ?car on ne les a pas encore étudié
Merci

inconnue a écrit:

Mais y a til une autre méthode sans le passage aux fcts Ln et Exp ?car on ne les a pas encore étudié
Merci

BSR Zineb !!
Franchement , je n'en vois pas !!
Il n'est pas du tout facile ici de manipuler directement la suite {(xn)^n}n
pour la raison suivante c'est que le n figure à la fois comme exposant et comme indice !!!!
Les Auteurs du Manuel n'ont sans doute pas suspecté que l'usage de Ln(.) et exp(.) était nécessaire !! Il aurait dû être proposé après le Chapitre relatif à la présentation et étude de ces deux Fonctions !!
Celà arrive et parfois pire , vas voir ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/un-exo-interessant-en-suites-t10484.htm#89954

Bonne Reprise !!!

L a écrit:

supposons que (Un) convergente
alors limUn=l avec l e [0.1]
si Un e [0.1[ alors limUn^n=0
et comme on a limUn^n+arctanUn=1=>limarctanUn=1
la fonction tan continue en 1 alors lim Un=tan1 mais tan1>1
alors la supposition en gras est fausse donc (Un) n'est pas convergente
sauf erreur

salut L il est clair que si u(n)£[0;1] n'implique pas lim(u(n))^n=0.!!!!
en effet:
on pose u(n)=(1- 1/n):
alors il est clair que u(n)£[0;1] mais lim(u(n))^n=1/e#0 tu peux la verifier.
et merci
____________________________________________________________________
lahoucine

inconnue a écrit:

Mais y a til une autre méthode sans le passage aux fcts Ln et Exp ?car on ne les a pas encore étudié
Merci

salut ZINEB :
alors je te propose une methode tres facile pour calculer la limite:
il est clair que (u(n)) est convergente sur ]0;1]:
donc on a:
(u(n))^n +arctan(u(n))=1.
on sait que: 0< arctan(u(n))<= pi/4.
alors:
0< 1-(u(n))^n <= pi/4.
<=> 1 - pi/4 <= (u(n))^n< 1.
<=> (1- pi/4)^(1/n) <= u(n) < 1.
passons à la limite on trouve:
lim(u(n))=1 (car elle est encadrée entre deux suite qui converge vers 1).
C.Q.F.D
NB:
si tu veux que je montre qu'elle est convergente je ferai incha allah.
____________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Zineb !!

Voilà , j'ai retrouvé sur MathsLand un Topic fort intéressant sur un exercice similaire à celui-ci et un débat très pertinent sur la question ;
il faudra prendre pour fonction g celle-ci :
g : x-------> g(x)=1-Arctan(x) de [0;1] dans (0;1]
puis pour chaque entier naturel n
gn: x-------> gn(x)=g(x) -x^n
pour pouvoir suivre le Topic et comparer avec ce que nous obtenons ici .
Voici le Lien :

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=a95a635e257c62b991c3607b59aadc62

Je vous en souhaite Bonne Lecture !!!

bonjour

voici une metode pour monrter la lim


on definit une autre suite Vn=8^(-1/n)
on voit que Vn<1 et que lim(V(n))=1

dune autre part on a f(n)(Vn)<fn(Un) cest faile a montrer

donce puisque fn est croissante sur 0 et 1

donc on aura Vn<Un<1

et on utilise le gendarme pour montrer que la lim est 1

remarque

on peut considerer toute suite Vn tels que Vn=c^(-1/n)

avec une condition sur c cest que

c>4/4-Pi

slt tous le monde cava
pour l'exo jè po bien sezi ce pasage;

En particulier , si on fait x=x(n+1) alors
0=f(n+1)(x(n+1))<fn(x(n+1)) ainsi fn(x(n+1))>0 et DONC xn<x(n+1)
On en conclut que
la suite {xn}n est STRICTEMENT CROISSANTE et comme elle est majorée par 1 [/b]

BSR mounia* !!

Il faut lire le Topic du début jusqu'à la fin , tu as la réponse à ta question dedans !
J'avais dit ceci :
<< fn(.) est NEGATIVE STRICT sur ]0;xn[ et POSITIVE STRICT sur ]xn;1[ >>
Donc si fn(x(n+1))>0 alors forcément x(n+1)>xn et delà la suite {xn}n est strictement croissante ....

slt Ms Oeil_de_Lynx
jè bien li la topic è merci bc bc

mais comment en a trouvè ke Fn(x(n+1)è positive ??????!

mounia* !!!

Ta réponse est là :
<< Pour tout x dans ]0;1[ on a 0<x^(n+1)<x^n<1 donc
f(n+1)(x)<fn(x)
En particulier , si on fait x=x(n+1) alors
0=f(n+1)(x(n+1))<fn(x(n+1)) ainsi fn(x(n+1))>0 et DONC xn<x(n+1)
On en conclut que
la suite {xn}n est STRICTEMENT CROISSANTE et comme elle est majorée par 1
ALORS elle converge vers une limite notée L et on a 0<L<=1 >>

bsr je suis dsl jtè derangè un peu mais ce exo me la fait ausi
bon....quon je calcule je ttrouve ke fn è entre -1 è p/4 ????

è ausi pk ilya un zero ici;
0=f(n+1)(x(n+1))<fn(x(n+1))
?????? JE SUIS PERDU LA MS

attend attend la Ms
,,,,,,????????????
kellè la fonction kon a considèrè
moi ma fonction c !!!!! Fn(x)=x^n+arctan(x)-1????
è chè vs je trouve po le -1!???????????????????

èh........... ...oui MS je crois vs avè raison jè po bien li car votrs fonction diferr de la mienne .........è moi jè falli me follir ...hh
merci bc bc bc Ms de votre attention
je m'exuse

BJR mounia* !!

C'est exactement le même problème que tu as posé ( et qui se trouve dans Al-Moufid d'ailleurs !! ) , sans doute la fonction que tu as considerée n'est pas tout fait celle que nous avons considérée sur le Topic !!
Je te conseille vivement se suivre le Topic depuis le début et tu comprendras fort bien !!!
Allé Bon Courage à Toi !!!