Inégalité Tc

Soit a et b Deux réels tel que :
a + b = 2

Montrez que a^4 + b^4 >= 2

Trivial mon cher. Application directe de l'inégalité de Hölder : (a^4+b^4)(1+1)(1+1)(1+1) >= (a+b)^4

Ahh mais cette propriété est du niveau du tc?

https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/exo-un-peu-difficile-t16254-15.htm
tu trouveras d'autres réponses
pour holder ainsi que d'autres inégalités elles ne figurent pas dans le programme ni de TC ni de première ...... il s'agit de techniques d'olympiades qu'on doit connaitre c tt d'ailleurs c pas très difficile de les comprendre ce qui pose parfois problème c'est le fait de les utiliser au bon moment

Bonjour Mehdi,
Tu trouveras ma réponse (Du niveau TC) là-bas:

https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/exo-un-peu-difficile-t16254-30.htm

Au plaisir

ou bien on peut faire comme suit
a^4 + 1 +1 +1 >=4a (IAG)
de meme b^4 +1 +1 +1>=4b
on faisant la somme on aura
a^4 +b^4 +6 >= 4(a+b) =8
d'ou le resultat a^4+b^4>=2

Merciii Marjani et lazarov

Voila un autre exo :
Soit x et y des réels tel que :
|x|<1/2 et |y|<=1
Montrer que : |4x²y-y-x|<17/16

salam :

on prend la fonction : f(y) = -x + y(4x^2 - 1).

f est une fonction linéaire ce qui mène à sa monotonie ..

donc puisque -1=<1 ==> f(y) £ [m;M]

tel que m = min{f(-1); f(1)} et M = max{f(-1);f(1)}.

f(1) = 4x^2 - x - 1 = g(x) et f(-1) = -4x^2 - x +1= h(x).

après une étude des fonctions g et h et leurs dérivées on trouvera que leurs points sup et inf sont :

g(1/2) = -1/2 et g(-1/2) = 1/2 et g(1/8 )= -17/16

h(1/2) = - 1/2 et h(-1/2) = 1/2 et h(-1/8 )= 15/16


Conclusion :
/ f(y) /< max des valeurs absolues de ces nombres = 17/16.

Ahhh je vois, mais y aurait-il pas une solution simple du niveau du Tronc commun ?

Au plaisir

Tronc Commun ?

c'est un exo (n° 100 je pense) à Elmoufid première .. et je rappel bien que personne dans ma classe l'a résolu m^me le prof .. jusqu'à ce moment quand tu l'as posté .


P.S : je vais essayer ..

à + .

Méthode TC : savoir que : et l'utiliser.

Cet exo est en dima dima algebre Tronc commun c pr sa
Jé pa réussi a le fere...
Et merci oussama pour la méthode

Mehdi.O a écrit:

Voila un autre exo :
Soit x et y des réels tel que :
|x|<1/2 et |y|<=1
Montrer que : |4x²y-y-x|<17/16

* Premiérement, on a |x|<1/2 et |y|=<1 => |xy|<1/2 => |4x²y|<1. (1)
* On veut démontrer que: |4x²y-y-x|<17/16
|4x²y-y-x|<17/16 => -17/16 <4x²y-y-x< 17/16. Or -1/2 < x < 1/2, -1 < y < 1, en sommant: -3/2 < x+y < 3/2, d'ou -41/16 < 4x²y < 41/16, celà implique que: |4x²y| < 41/16.
* Ce résultat est juste par (1), car |4x²y|<1<41/16.

Sauf error.

{}{}=l'infini a écrit:

Tronc Commun ?

c'est un exo (n° 100 je pense) à Elmoufid première .. et je rappel bien que personne dans ma classe l'a résolu m^me le prof .. jusqu'à ce moment quand tu l'as posté .


P.S : je vais essayer ..

à + .

Il est difficile?

M.Marjani a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Voila un autre exo :
Soit x et y des réels tel que :
|x|<1/2 et |y|<=1
Montrer que : |4x²y-y-x|<17/16

* Premiérement, on a |x|<1/2 et |y|=<1 => |xy|<1/2 => |4x²y|<1. (1)
* On veut démontrer que: |4x²y-y-x|<17/16
|4x²y-y-x|<17/16 => -17/16 <4x²y-y-x< 17/16. Or -1/2 < x < 1/2, -1 < y < 1, en sommant: -3/2 < x+y < 3/2, d'ou -41/16 < 4x²y < 41/16, celà implique que: |4x²y| < 41/16.
* Ce résultat est juste par (1), car |4x²y|<1<41/16.

Sauf error.

{}{}=l'infini a écrit:

Tronc Commun ?

c'est un exo (n° 100 je pense) à Elmoufid première .. et je rappel bien que personne dans ma classe l'a résolu m^me le prof .. jusqu'à ce moment quand tu l'as posté .


P.S : je vais essayer ..

à + .

Il est difficile?

salam;
Quelque chose ne va pas dans ta démonstration : je vois que tu as supposé que |4x²y-y-x|<17/16 et tu es arrivé par implications à
-41/16 < 4x²y < 41/16 mais il faut avoir des équivalences ...
retounes avec moi dans le sens inverse :

-41/16 < 4x²y < 41/16 ( et on a -3/2 < x+y < 3/2 ) ==>

-65/16 < 4x²y < 65/16 ( c pas la m^me chose )

Tu as joué dans ta démo avec les suppositions ; Tu devrais prendre ce chemin :

on a : -1<4x²y<1 et -3/2 <- (x+y) < 3/2

<==> -5/2 < 4x²y -x-y < 5/2 ( et tu ne conclura rien )

Autre chose :

M.Marjani a écrit:

car |4x²y|<1<41/16

quand tu résoudras cet exo tu ne démontreras que des inégos précises ..

car le majorant 17/16 est bien choisi , tu peux le constater si tu choisi y=1

et x= 1/8 donc / 4x²y -x-y / = / -17/16 / = 17/16 .

à +