Inégalité

Prouver que si x, y et z sont des réels tels que x²+y²+z²=2, alors x+y+z<=xyz+2.

Une toute petite rectification :

Dijkschneier a écrit:

Prouver que si x, y et z sont des réels tels que x²+y²+z²=2, alors x+y+z<=xyz+2.

Oui, King. C'est rectifié. Merci.

On a :


Et l'inégo est équivalente à :

si z<0 on a fini sinon elle est équivalente à :

avec s=x+y et p=xy et z²=2-s²+2p
On a :

d'où la conclusion ..
avec égalité si par exemple z=0 et x=y=1

Bravo Sylphaen. La mienne est tirée par les cheveux. Je la posterais probablement d'ici peu.

C'est juste Sylphaen, c'est avec la même méthode que tu as attaqué l'exercice d'AKIR ALI (ici) qui ressemble beaucoup à celui là.

Oui sinon c'est faisable aussi avec cauchy ( tjr comme l'autre exo )


le reste est simple ..

voilà ma solution
posons S=(1-xy)(1-yz)(1-xz)après un dévéloppement on obtient
S=4-(x+y+z)²+2xyz(x+y+z)-2(xyz)²
on a 2xy est inférieur à x²+y² qui est inférieur à x²+y²+z²=2 d'ou 1-xy est positif ainsi que 1-yz et 1-xz d'où s>=0
maintenant on pose u=x+y+z et v=xyz
alors S=4-u²+2uv-2v²>= 0
équivaut à u²-2uv+2v²=<4 puisque u²-2uv+2v² est supérieur à u²-2uv+v²=(u-v)²
pour conclure faut que u>v (à vous djouer )

tarask a écrit:

pour conclure faut que u>v (à vous djouer )

Justement. Et ce n'est pas toujours le cas. Bravo quand même.

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

pour conclure faut que u>v (à vous djouer )

Justement. Et ce n'est pas toujours le cas. Bravo quand même.

Merci
mais je crois que c'est le cas ici
j'attend que kk le montre sinon jle fais

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

pour conclure faut que u>v (à vous djouer )

Justement. Et ce n'est pas toujours le cas. Bravo quand même.

Si, c'est le cas ici xD
On pose :
La contrainte équivaut à :

Donc :

tarask a écrit:

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

pour conclure faut que u>v (à vous djouer )

Justement. Et ce n'est pas toujours le cas. Bravo quand même.

Merci
mais je crois que c'est le cas ici
j'attend que kk le montre sinon jle fais

AM-GM donne :



Donc :



... qui est beaucoup plus forte.

C'est ça Oussama et King

King a écrit:

oussama1305 a écrit:

AM-GM donne :

On a pas affaire à des variables positives !!

Dijkschneier a écrit:

King a écrit:

oussama1305 a écrit:

AM-GM donne :

On a pas affaire à des variables positives !!

Et laméthode tarask tombe a l'eau sinon ...

oui malheureusement hhh je n'avais pas remarqué ça

Bonjour, je présente une methode d'une autre façon:

Ma Solution:

* D'abord x²+y²+z²+2xyz>=2xy+z²+2xyz <=> 2xy(1+z)=<2(1+xy) <=> xy(1+z-1)=<1 <=> xyz=<1 (1)
- On veux démontrer que x+y+z=<xyz+2 => x+y+z=<3:
* Par (1) on peut conclure que yz=<1/x, xz=<1/y et xy=<1/z. En sommant ses trois inégalités: xy+yz+xz=<1/x + 1/y + 1/z (2)
* Or (1/x + 1/y + 1/z)² >= (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²+2(x+y+z) [Par (1)] donc 2(1/xy + 1/yz + 1/xz) >= 2(x+y+z).
- Il suffit donc de démontrer que x+y+z=<1/xy + 1/yz + 1/xz=<xyz+2:
Or 1/xy + 1/yz + 1/xz-xyz-2=[-(xyz)²-2xyz+(x+y+z)]/(xyz), et puisque xyz=<1 donc -3+(x+y+z)=<0.

D'ou le résultat. J'attend vos remarques

M.Marjani a écrit:

- On veux démontrer que x+y+z=<xyz+2 => x+y+z=<3:

Ne confondez pas les conditions nécessaires aux conditions suffisantes.
Vous démontrez (je n'ai pas lu ce qui suit, mais admettons que ce soit vrai) un résultat qui n'a rien à voir avec le problème courant.

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

- On veux démontrer que x+y+z=<xyz+2 => x+y+z=<3:

Ne confondez pas les conditions nécessaires aux conditions suffisantes.
Vous démontrez (je n'ai pas lu ce qui suit, mais admettons que ce soit vrai) un résultat qui n'a rien à voir avec le problème courant.

Ah, bon?

M.Marjani a écrit:

Bonjour, je présente une methode d'une autre façon:

Ma Solution:

* D'abord x²+y²+z²+2xyz>=2xy+z²+2xyz <=> 2xy(1+z)=<2(1+xy) <=> xy(1+z-1)=<1 <=> xyz=<1 (1)
- On veux démontrer que x+y+z=<xyz+2 => x+y+z=<3:
* Par (1) on peut conclure que yz=<1/x, xz=<1/y et xy=<1/z. En sommant ses trois inégalités: xy+yz+xz=<1/x + 1/y + 1/z (2)
* Or (1/x + 1/y + 1/z)² >= (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²+2(x+y+z) [Par (1)] donc 2(1/xy + 1/yz + 1/xz) >= 2(x+y+z).
- Il suffit donc de démontrer que x+y+z=<1/xy + 1/yz + 1/xz=<xyz+2:
Or 1/xy + 1/yz + 1/xz-xyz-2=[-(xyz)²-2xyz+(x+y+z)]/(xyz), et puisque xyz=<1 donc -3+(x+y+z)=<0.

D'ou le résultat. J'attend vos remarques

Permettez-moi d'intervenir
@M.Marjani: c'est une implication c.à.d que même si tu trouves x+y+z=<3 ça ne va t'aider nulle part
Gentiment

SAlut
je savais pas que si on veu montrer que a=<b et on a b=<c il suffit de montreer que a=<c POUR CONCULRE Merci Marjani pour cette information trop importante

tarask a écrit:

Permettez-moi d'intervenir
@M.Marjani: c'est une implication c.à.d que même si tu trouves x+y+z=<3 ça ne va t'aider nulle part
Gentiment

Ah, je comprends maintenant, j'ai mal exprimé donc je réctifie (pour ne pas laissé à D-O-H-A rien à se moquer : ) ) :

Ma Solution:

* D'abord x²+y²+z²+2xyz>=2xy+z²+2xyz <=> 2xy(1+z)=<2(1+xy) <=> xy(1+z-1)=<1 <=> xyz=<1 (1)
* On peut remarquer que xy+yz+xz=<1/x + 1/y + 1/z (2) <=> xy+yz+xz=<xy+yz+xz/(xyz) <=> xyz=<1 ce qui est juste.
* Or (1/x + 1/y + 1/z)² >= (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²+2(x+y+z) [Par (1)] donc 2(1/xy + 1/yz + 1/xz) >= 2(x+y+z).
- Il suffit donc de démontrer que x+y+z=<1/xy + 1/yz + 1/xz=<xyz+2:
Or 1/xy + 1/yz + 1/xz-xyz-2=[-(xyz)²-2xyz+(x+y+z)]/(xyz), et puisque xyz=<1 donc -3+(x+y+z)=<0.
- Alors il suffit de démontrer que -(xyz)-2+3/(xyz)=<0 d'une autre façon (xyz)²+2xyz-3=<0:
* On a xyz=<1 donc (xyz)²+2xyz=<3 d'ou (xyz)²+2xyz-3=<0.
* D'ou: x+y+z=<1/xy + 1/yz + 1/xz=<xyz+2

D'ou le résultat. J'attend vos remarques un autre fois.

M.Marjani a écrit:

[color=darkblue]
* Or (1/x + 1/y + 1/z)² >= (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²+2(x+y+z) [Par (1)] donc 2(1/xy + 1/yz + 1/xz) >= 2(x+y+z).

Merci de lire les posts qui précèdent pour éviter de tomber et de retomber dans les mêmes erreurs. On a dit que x,y et z n'étaient pas positifs. Par conséquent, il ne faut pas dire que xy<=1/z si on a xyz<=1.

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

[color=darkblue]
* Or (1/x + 1/y + 1/z)² >= (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²+2(x+y+z) [Par (1)] donc 2(1/xy + 1/yz + 1/xz) >= 2(x+y+z).

Merci de lire les posts qui précèdent pour éviter de tomber et de retomber dans les mêmes erreurs. On a dit que x,y et z n'étaient pas positifs. Par conséquent, il ne faut pas dire que xy<=1/z si on a xyz<=1.

Par contre, à mon avis il ne faut pas voir les solutions des autres avant de poster ta soluc.

C'est façile d'éviter le cas ou xy=<1/z et..

xy+yz+xz=< 1/x + 1/y + 1/z <=> xy+yz+xz=< xy+yz+xz/(xyz) donc xyz=<1 ce qui est juste...

Aussi: 1/xy + 1/yz + 1/xz = (xyz(x+y+z))/(xyz)² >= x+y+z (car xyz=<1)

Spoiler:

Alors?

Bon 'Ftour' à tous ! :p

M.Marjani a écrit:

Par contre, à mon avis il ne faut pas voir les solutions des autres avant de poster ta soluc.

Vous croyez donc que l'attitude la plus sensée est de proposer un problème avec sa solution ? Dans ce cas, nombreux seront ceux qui verront la solution et ne seront plus tentés d'affronter le problème, ne croyez-vous pas ?
Voici ma solution.
Solution :
Soit k=x+y+z.
- Si k>=2 :
Il est connu que xyz >= (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z). Cette inégalité est équivalente à l'inégalité de Schur pour t=1.
Les passages d'une ligne à l'autre sont des équivalences :
xyz >= (k-2x)(k-2y)(k-2z)
xyz >= k^3 + 2k²(x+y+z) + 4k(xy+xz+yz)-8xyz
9xyz >= -k^3 + 2k[ (x+y+z)² - (x²+y²+z²)]
9xyz >= -k^3 + 2k(k²-2)
9xyz >= k^3 - 4k
9xyz + 18 >= k^3 - 4k + 18
Il suffit don de montrer que k^3 - 4k + 18 >= 9k, ce qui est équivalent à (k-2)(k+1+sqrt(10))(k+1-sqrt(10)) >= 0. Puisque k>=2, alors c'en est fini.
- Si k < 2 :
* Si xyz >= 0 :
Alors xyz + 2 >= 2 > x+y+z, c'en est fini.
On remarque à ce stade que si xyz>=0, alors c'en est fini.
* Si x<=0 et y>=0 et z>=0 :
L'inégalité à montrer est équivalente à x(1-yz)+y+z <=2.
Or yz <= (x²+y²)/2 <= 2/2 = 1, et y+z<=2 car k<2 et x<=0.
Par conséquent, x(1-yz) <= 0 et y+z<=2, donc par somme, x(1-yz)+y+z<=2. C'en est fini
* Si x<=0 et y<=0 et z<=0.
Alors (-x)(y)(z) >= 0, et d'après la remarque mise en gras, on conclue que -x+y+z<=-xyz+2. Il suffit donc de montrer que xyz >= x, ou encore que yz<=1, ce qui a été déjà démontré. C'en est fini.