Inégalité

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Par contre, à mon avis il ne faut pas voir les solutions des autres avant de poster ta soluc.

Vous croyez donc que l'attitude la plus sensée est de proposer un problème avec sa solution ? Dans ce cas, nombreux seront ceux qui verront la solution et ne seront plus tentés d'affronter le problème, ne croyez-vous pas ?
Voici ma solution.
Solution :
Soit k=x+y+z.
- Si k>=2 :
Il est connu que xyz >= (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z). Cette inégalité est équivalente à l'inégalité de Schur pour t=1.
Les passages d'une ligne à l'autre sont des équivalences :
xyz >= (k-2x)(k-2y)(k-2z)
xyz >= k^3 + 2k²(x+y+z) + 4k(xy+xz+yz)-8xyz
9xyz >= -k^3 + 2k[ (x+y+z)² - (x²+y²+z²)]
9xyz >= -k^3 + 2k(k²-2)
9xyz >= k^3 - 4k
9xyz + 18 >= k^3 - 4k + 18
Il suffit don de montrer que k^3 - 4k + 18 >= 9k, ce qui est équivalent à (k-2)(k+1+sqrt(10))(k+1-sqrt(10)) >= 0. Puisque k>=2, alors c'en est fini.
- Si k < 2 :
* Si xyz >= 0 :
Alors xyz + 2 >= 2 > x+y+z, c'en est fini.
On remarque à ce stade que si xyz>=0, alors c'en est fini.
* Si x<=0 et y>=0 et z>=0 :
L'inégalité à montrer est équivalente à x(1-yz)+y+z <=2.
Or yz <= (x²+y²)/2 <= 2/2 = 1, et y+z<=2 car k<2 et x<=0.
Par conséquent, x(1-yz) <= 0 et y+z<=2, donc par somme, x(1-yz)+y+z<=2. C'en est fini
* Si x<=0 et y<=0 et z<=0.
Alors (-x)(y)(z) >= 0, et d'après la remarque mise en gras, on conclue que -x+y+z<=-xyz+2. Il suffit donc de montrer que xyz >= x, ou encore que yz<=1, ce qui a été déjà démontré. C'en est fini.

Non, j'ai pas dis ça, c'est plutot le contraire. Quand par exemple tu verras les solutions des autres, tu as donc déjà une idée de la solution du probléme. Dans ce cas, c'est mieux de ne pas réflichir au probléme de nouveau, ce n'est qu'à la perte du temps : )

Pour ta methode, elle est bien.