inégalité!!!

soit (An) une suite telle que : A1=1/2 et A(n+1)=A(n)²/(A(n)²-A(n)+1)
montrer que pour tout entier n :
A(1)+A(2)+A(3)+....+A(n) < 1
voila!

Oui pas évident car tend vers 1 à une vitesse vertigineuse !


Par récurrage :
pour n > 5

Bonjour
Il est facile de montrer que (A(n)) est strictement décroisssante de limite 0 et 0<A(n) <A(1)=1/2.

Soit f(x)=x²/(x²-x+1). f est strictement croissante de [0,1/2] dans [0,1/3].
et f(x)<x dans ]0,1/2] car x-f(x) = x (x-1)²/(x²-x+1).
on a A(n+1)=f(A(n)).
Soit n>1, on a Max(f(x) / x sur [A(n),1/2])= f(A(n))/A(n) =A(n+1)/A(n)
Mais f(A(n))/A(n) =A(n+1)/A(n)= A(n)/(A(n)²-A(n)+1) < 4/9
en effet: A(n)< A(1)= 1/3 pour n>1
A(n)²-A(n)+1=1-A(n)(1-A(n))>= 1-1/4=3/4
Car Max {x(1-x) sur [0,1]}=1/4

Comme A(1), ... , A(n) sont tous dans [A(n),1/2], alors

A(1)+ ... +A(n) =< 1/2( 1+4/9+ ...+(4/9)^n) < 9/10 <1

AA++

bjr , je pense qu il ya une erreur ds la demo de abdelbaki.attioui, car il prouve que la somme des Ai est majorée par 9/10 ce qui n é ps le cas car la limite de la serie é 1 voila quoi !
A1+A2+A3=1/2+1/3+1/7=41/42>9/10 !!

Bonjour,

A(1)+A(2)+...+A(n)<1/2(1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^n) <1

Question : Trouver un équivalent de A(n)

AA+

Je ne suis pas sûr que ce soit correct, A(n) converge vers 0 beaucoup plus vite que 1/2^n

bonjour , une petite question a "abdelbaki.attioui":
a partir de quel rang on a A(1)+A(2)+...+A(n)<1/2(1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^n) ?

Bonjour
Montrer que 0=<f(x)=<1/2 x pour x dans [0,1/3].

AA+

oui c vrai que f(x)<=1/2x pour x ds [0,1/3] mai ça sert pas a gran choz vu que A2=1/3 > 1/4 et A3=1/7>1/8 , on pt ps majorer la somme par la serie segma (1/2^i)..voila quoi!

Attention ! la somme de droite il ya n+1 termes

A(1)+A(2)+...+A(n)<1/2(1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^n) <1

ok!
voila la somme exacte des Ai:
montrer par recurrence que :
A1+A2+A3+..An+(A1A2...An)=1
voila!

Ok c'est trés jolie comme formule