Système :D

Trouver tous les triplets (x,y,z) de réels qui satisfont le système suivant :
xy=z-x-y
xz=y-x-z
yz=x-y-z

Bonne chance

Trivial, n'est-ce pas ?
Solution :
Soient (x,y,z) un triplet de réels qui vérifient le système.
Le triplet (0,0,0) satisfait le système.
Supposons maintenant, sans nuire à la généralité, que x est différent de 0.
Alors x(y+z) = xy + xz = (z-x-y) + (y-x-z) = -2x, ce qui implique que y+z=-2.
Alors yz = x - (y+z) = x + 2.
De plus, le système implique que , qui implique que |x+1| = |y+1| = |z+1|.
- Si x+1 = y+1 :
Alors x=y, et par conséquent z(x+1)=0 et z(y+1)=0 d'après les égalités du système originel, donc z=0 ou x=y=-1, donc (x=y=-2 et z=0) ou (x=y=z=-1).
Inversement, les deux triplets (-2,-2,0) et (-1,-1,-1) vérifient le système.
- Si x+1 = -(y+1)
Alors x+y=-2, et par conséquent x=z compte tenu de y+z=-2, et par conséquent y(x+1)=0 ou y(z+1)=0 d'après les égalités du système originel, donc y=0 ou x=z=-1, donc (x=z=-2 et y=0) ou (x=y=z=-1)
Inversement, les deux triplets (-2,0,-2) et (-1,-1,-1) vérifient le système.

Synthèse :
Par symétrie des rôles, on ajoute (0,-2,-2) aux deux triplets (-2,0,-2) et (-2,-2,0) trouvés.
Les triplets (0,0,0), (-1,-1,-1), (0,-2,-2), (-2,0,-2), (-2,-2,0) sont les solutions du système.

que dirais-tu de ces solutions (-2,0,-2) et (-2,-2,0) ainsi que (0,-2,-2)
je crois que le passage d'équivalence que t'as fait n'est pas juste puisqu'il y a la possibilité de x=-1 alors x+1=0 .... ce qui interdit la multiplication

P.S: je te laisse réfléchir un peu après je poste ma solution

Il se trouve que j'étais en train d'éditer mon message pendant que tu rédigeais ta réponse. J'imagine que maintenant, c'est bon ?

tarask a écrit:

je crois que le passage d'équivalence que t'as fait n'est pas juste puisqu'il y a la possibilité de x=-1 alors x+1=0 .... ce qui interdit la multiplication

Oui ! Il reste tout de même que le système originel implique celui-ci. C'est rectifié.

Salut
POurquoi ne pas faire ainsi:
xy-xz=2(z-y)
<==> x(y-z)=2(z-y) donc soit x=-2 soit y=z
et on étudie ces 2 cas les solutions en découlent proprement!!

Dijkschneier a écrit:

Il se trouve que j'étais en train d'éditer mon message pendant que tu rédigeais ta réponse. J'imagine que maintenant, c'est bon ?

tarask a écrit:

je crois que le passage d'équivalence que t'as fait n'est pas juste puisqu'il y a la possibilité de x=-1 alors x+1=0 .... ce qui interdit la multiplication

Oui ! Il reste tout de même que le système originel implique celui-ci. C'est rectifié.

re

multiplier par un 0 est une faute !
je vais être plus explicite : toi t'as multiplié par un x+1 , c'est comme si t'as supposé que x=/ -1 nn? alors il faut exclure le x=y=z=-1 puisque ça donne une contradiction !
Mais j'admets que ce qui suit est juste !
je donne ma solution :
de la première et deuxième équation (soustraction) on obtient xy-xz=2z-2y ce qui est équivalent à (x+2)(y-z)=0
alors x=-2 ou y=z
SI x=-2
alors on obtient de la 1ère équation :y+z=-2 puis de la troisième on a yz=0 <=>y=0 ou z=0
alors (-2;0,-2) et (-2,-2,0) sont les solutions dans ce cas

Si y=z
de la 1ère on a x=0 ou y=-1

si x=0 et y=z la troisième devient y²+2y=0 <=> y=0 ou y=-2
si y=-1 et y=z=-1 il s'en suit que x=-1
alors si y=z les solutions sont (-1,-1,-1) et (0,0,0) et (0,-2,-2)

sauf erreur biensur

C'est la meme solution que moi ^^

Ma solution que je t'ai promis Tarask :

* Tout d'abord il faut remarquer que (0,0,0) et (-1,-1,-1) des solutions.
* Or xz-yz=(y-)-(x+z)+(y+z)=-2(x-y) d'ou z=-2 Et on procéde de la méme maniére pour avoir y=-2, z=-2.
* Or (-2,-2,-2) ne satisfait pas le systéme, donc on cherche les triplets ou x=-2 et y=-2 et z=-2 sont inclus:
* On remplaçe dans le systéme les veleurs x,y,z chacune dans un systéme, donc aura trois systéme, qui admettent au moins deux solutions:

* A chaque fois qu'on remplaçe dans chaque systéme on aura au 1ér systéme: xy=0 , le 2éme xz=0 , et le 3éme yz=0.
* Prenons par exemple le premier systéme qu'on remplaçe z=-2: { xy=-(2+y)-x et -2y=x+2-y et -2x=2-x+y }
Donc le systéme est équivalent à {xy=0 et -y=x+2 et -x=2+y}, on résoud le systéme pour trouver que S={(0,-2,-2),(-2,0,-2)}
* De méme pour les autres systémes, donc aura: S={(0,-2,-2),(-2,0,-2);(-2,0,-2),(-2,-2,0),(-2,-2,0);(0,-2,-2)}

Sauf error :p

tarask a écrit:

multiplier par un 0 est une faute !
je vais être plus explicite : toi t'as multiplié par un x+1 , c'est comme si t'as supposé que x=/ -1 nn? alors il faut exclure le x=y=z=-1 puisque ça donne une contradiction !
Mais j'admets que ce qui suit est juste !
j

a=b => a*0 = b*0. Il n'est donc pas nécessaire de supposer que x est différent de -1. Ça ne donne pas de contradiction.
Mais j'admets que ma solution est pourrie. La tienne semble plus élégante. Cela dit, le problème est fondamentalement assez simple.

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

multiplier par un 0 est une faute !
je vais être plus explicite : toi t'as multiplié par un x+1 , c'est comme si t'as supposé que x=/ -1 nn? alors il faut exclure le x=y=z=-1 puisque ça donne une contradiction !
Mais j'admets que ce qui suit est juste !
j

a=b => a*0 = b*0. Il n'est donc pas nécessaire de supposer que x est différent de -1. Ça ne donne pas de contradiction.
Mais j'admets que ma solution est pourrie. La tienne semble plus élégante. Cela dit, le problème est fondamentalement assez simple.

Excuse-moi Dijkschneier , mais moi j'insiste trop sur les équivalences/implications
=> c'est ce que t'as mis nn ? et pourquoi t'as dit que le système devient équivalent à .. ?
ça c'est sûr, je l'ai posté (et kks autres exos) pk j'ai vu que le forum allait devenir un forum fantôme

tarask a écrit:

Excuse-moi Dijkschneier , mais moi j'insiste trop sur les équivalences/implications

Bien sûr. La rigueur mathématique impose de telles insistances.

tarask a écrit:

=> c'est ce que t'as mis nn ? et pourquoi t'as dit que le système devient équivalent à .. ?

J'imagine que tu n'as pas relu ma démonstration depuis ta dernière lecture. J'ai bien précisé dans un message précédent que c'est rectifié. Le système est impliqué par le système originel, et ne lui est pas équivalent. Tu as raison. On peut se contenter des implications car on vérifie nos pseudo-solutions à la fin.

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

Excuse-moi Dijkschneier , mais moi j'insiste trop sur les équivalences/implications

Bien sûr. La rigueur mathématique impose de telles insistances.

tarask a écrit:

=> c'est ce que t'as mis nn ? et pourquoi t'as dit que le système devient équivalent à .. ?

J'imagine que tu n'as pas relu ma démonstration depuis ta dernière lecture. J'ai bien précisé dans un message précédent que c'est rectifié. Le système est impliqué par le système originel, et ne lui est pas équivalent. Tu as raison. On peut se contenter des implications car on vérifie nos pseudo-solutions à la fin.

Mes excuses encore une fois là c'est bon