- hilbert_1988 a écrit:
- Résoudre dans l'ensemble des réels positifs le système suivant :
Je propose une solution:
On a
(y+1)(z+1)=5\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x+6}\end{cases})
, soit
(z+1)=\frac{5}{x+1}\\\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x+6}-\sqrt{x}\end{cases})
ce qui implique:
^2\end{cases})
.
En soustrayant la deuxième équation de la première membre par membre, on aura:
^2=yz-2\sqrt{y.z}+1=\frac{5}{x+1}-(\sqrt{x+6}-\sqrt{x})^2)
.
Ici, on doit étudier la fonction f définie sur
par
=\frac{5}{x+1}-(\sqrt{x+6}-\sqrt{x})^2)
.
La mission est difficile à la main, mais voyons ce que WolframAlpha nous donne:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%2F%28x%2B1%29+-+%28\sqrt%28x%2B6%29-\sqrt%28x%29%29^2 [/url].
On a donc
: \frac{5}{x+1}-(\sqrt{x+6}-\sqrt{x})^2\le0)
avec égalité si et seulement si
.
Or, on a d'un autre côté
\in\mathbb{R}+^2): (\sqrt{y.z}-1)^2\ge0)
.
On en conclût qu'on est dans le cas d'égalité, c'est à dire que
^2=0)
et
soit encore
et
.
En injectant
dans la première équation, on aura:
(z+1)=5)
soit
ou encore
.
Et puisque
, on est dans le cas d'égalité de l'inégalité arithmético-géométrique.
Ce qui donne
.
Ainsi, les ystème proposé admet le triplet
)
comme solution unique.
Sauf erreurs.
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