Equation diophantienne assez facile :D

je vous propose cette équation
Résoudre dans Z² l'équation suivante : 323x-391y=612
Bonne chance

je vais gacher ton spoiler
Peux-tu poster une démonstration complète ?
comme ça , je pourrai suivre avec toi pas à pas

Gentiment
P.S: je l'ai résolue autrement je posterai ma solution après d'autres interventions !

tarask a écrit:

je vous propose cette équation
Résoudre dans Z² l'équation suivante : 323x-391y=612
Bonne chance

D'après la simplification de Marjani, (E): 19x-23y=36
PGDC(19,23)=1 divise 36, donc l'équation admet des solutions sur IZ².
(-216,-180) est une solution évidente à l'équation, donc:
19(x+216) - 23(y+180) = 0
Donc : 19(x+216)=23(y+180) (*)
Donc 19 divise (y+180), donc il existe un k de IZ tel que : y+180=19k
Dans (*), cela donne : 19(x+216)=23*19k
Ce qui fait : x+216=23k
Les solutions à l'équation sont S={(23k-216,19k-180)} tel que k de IZ.

Je pourrais savoir ce que veut dire cette écriture "(323x-391y)÷(323-391)=-9" ?

Othmaann a écrit:

Je pourrais savoir ce que veut dire cette écriture "(323x-391y)÷(323-391)=-9" ?

Bonsoir Othman;

Ca veut dire qu'il existe un "m" tel que (323x-391y)=m*(323-391)

Et donc m=-9 , donc il s'agit de droites qui coupe (Ox) et (Oy)

Il y aurait une infinité de solutions apartenant à IZ.

sauf error

@Tarask: car le titre dit qu'il s'agit d'une façile equation xDD

M.Marjani a écrit:

Othmaann a écrit:

Je pourrais savoir ce que veut dire cette écriture "(323x-391y)÷(323-391)=-9" ?

Bonsoir Othman;

Ca veut dire qu'il existe un "m" tel que (323x-391y)=m*(323-391)

Et donc m=-9 , donc il s'agit d'une droite qui coupe (Ox) et (Oy)

Il y aurait deux solutions, l'une apartenant à IZ et l'autre à IQ :p

S={2,0}

sauf error

Il y'a une infinité de solutions dans IZ, et (2,0) n'en fait pas partie, si 19x=23y+36, qui vient de toi, est juste.
Prière de revoir ma solution.

oussama1305 a écrit:

tarask a écrit:

je vous propose cette équation
Résoudre dans Z² l'équation suivante : 323x-391y=612
Bonne chance

D'après la simplification de Marjani, (E): 19x-23y=36
PGDC(19,23)=1 divise 36, donc l'équation admet des solutions sur IZ².
(-216,-180) est une solution évidente à l'équation, donc:
19(x+216) - 23(y+180) = 0
Donc : 19(x+216)=23(y+180) (*)
Donc 19 divise (y+180), donc il existe un k de IZ tel que : y+180=19k
Dans (*), cela donne : 19(x+216)=23*19k
Ce qui fait : x+216=23k
Les solutions à l'équation sont S={(23k-216,19k-180)} tel que k de IZ.

C'est à peu près la même démarche que la mienne sauf que moi j'ai commencé par résoudre 19x-23y=1 puis j'ai multiplié les solutions par 36

tarask a écrit:

oussama1305 a écrit:

tarask a écrit:

je vous propose cette équation
Résoudre dans Z² l'équation suivante : 323x-391y=612
Bonne chance

D'après la simplification de Marjani, (E): 19x-23y=36
PGDC(19,23)=1 divise 36, donc l'équation admet des solutions sur IZ².
(-216,-180) est une solution évidente à l'équation, donc:
19(x+216) - 23(y+180) = 0
Donc : 19(x+216)=23(y+180) (*)
Donc 19 divise (y+180), donc il existe un k de IZ tel que : y+180=19k
Dans (*), cela donne : 19(x+216)=23*19k
Ce qui fait : x+216=23k
Les solutions à l'équation sont S={(23k-216,19k-180)} tel que k de IZ.

C'est à peu près la même démarche que la mienne sauf que moi j'ai commencé par résoudre 19x-23y=1 puis j'ai multiplié les solutions par 36

Moi aussi j'ai fait de même, sauf que sur papier, mieux vaut passer par la grande porte.

oussama1305 a écrit:

tarask a écrit:

oussama1305 a écrit:

tarask a écrit:

je vous propose cette équation
Résoudre dans Z² l'équation suivante : 323x-391y=612
Bonne chance

D'après la simplification de Marjani, (E): 19x-23y=36
PGDC(19,23)=1 divise 36, donc l'équation admet des solutions sur IZ².
(-216,-180) est une solution évidente à l'équation, donc:
19(x+216) - 23(y+180) = 0
Donc : 19(x+216)=23(y+180) (*)
Donc 19 divise (y+180), donc il existe un k de IZ tel que : y+180=19k
Dans (*), cela donne : 19(x+216)=23*19k
Ce qui fait : x+216=23k
Les solutions à l'équation sont S={(23k-216,19k-180)} tel que k de IZ.

C'est à peu près la même démarche que la mienne sauf que moi j'ai commencé par résoudre 19x-23y=1 puis j'ai multiplié les solutions par 36

Moi aussi j'ai fait de même, sauf que sur papier, mieux vaut passer par la grande porte.

Certes !

M.Marjani a écrit:

Othmaann a écrit:

Je pourrais savoir ce que veut dire cette écriture "(323x-391y)÷(323-391)=-9" ?

Bonsoir Othman;

Ca veut dire qu'il existe un "m" tel que (323x-391y)=m*(323-391)

Et donc m=-9 , donc il s'agit d'une droite qui coupe (Ox) et (Oy)

Il y aurait deux solutions, l'une apartenant à IZ et l'autre à IQ :p

S={2,0}

sauf error

@Tarask: car le titre dit qu'il s'agit d'une façile equation xDD

Equation facile , oui ! ce genre d'équations est très connu , tu vas voir cette équation l'année prochaine incha2allah

la démarche elle est la même dans chaque exercice , j'ai posté cette équation pour voir comment va la traiter un futur SC.M

oussama1305 a écrit:

Il y'a une infinité de solutions dans IZ, et (2,0) n'en fait pas partie, si 19x=23y+36, qui vient de toi, est juste.

Pardon.. m=-9 il s'agit d'infinité de points m(x',y') ...

M.Marjani a écrit:

oussama1305 a écrit:

Il y'a une infinité de solutions dans IZ, et (2,0) n'en fait pas partie, si 19x=23y+36, qui vient de toi, est juste.

Pardon.. m=-9 il s'agit d'infinité de points m(x',y') ...

Pas compris ...
Si m=-9, donc c'est un cas particulier.
Tu compliques les choses. Les équations diophantiennes sont un sujet type au baccalauréat, leurs solutions sont basiques. Et, en parlant de solutions, la tienne manque de rigueur: tu parles de "droite", sdonc dans le plan je présume ... l'équation est définie dans IZ, je te rappelle.

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:

oussama1305 a écrit:

Il y'a une infinité de solutions dans IZ, et (2,0) n'en fait pas partie, si 19x=23y+36, qui vient de toi, est juste.

Pardon.. m=-9 il s'agit d'infinité de points m(x',y') ...

Si m=-9, donc c'est un cas particulier.
Tu compliques les choses. Les équations diophantiennes sont un sujet type au baccalauréat, leurs solutions sont basiques. l'équation est définie dans IZ, je te rappelle.

Pour le vert, je résolu cette equation et je suis avec une autre, c'est pourquoi (2,0) est sortit toute seule

m=-9 n'est pas un cas particulier.. m est en fonction de (x,y) tel que: x=23n-9 et y=19n-9 (n£ IZ)

(323x-391y)=-m*68 donc x=23n+m et y=19n+m. C'est pourquoi j'ai dis qu'il s'agit de droites ^^

Car 323-391 dévise 323x-391y ; le résultat de la division est atteint pour m=-9 ^^

salam

la question serait intéressante s'il n'y avait pas de simplfication

exemple :

résoudre dans Z² :

2011.X + 1431.Y = 17

..................................................................

houssa a écrit:

salam

la question serait intéressante s'il n'y avait pas de simplfication

exemple :

résoudre dans Z² :

2011.X + 1431.Y = 17

..................................................................

Oui plus intéressante mais c'est juste un peu plus de calcul , faut juste trouver/remarquer que le couple
(565, -794) est une solution pour l'équation le reste en découle facilement avec Gauss et ces étapes ...

Merci pour votre intérêt M.Houssa

salam

(565 , -794) solution de : 2011X+1431Y = 1

donc multiplier par 17......

----------------------------
j'aimerais bien savoir comment tu as trouvé (565,-794)!!!!

..........................................................

Une méthode assez simple qui marche toujours mais un peu longue , c'est faire des divisions successive en s'inspirant de l'algorithme d'Euclide.

Othmaann a écrit:

Une méthode assez simple qui marche toujours mais un peu longue , c'est faire des divisions successive en s'inspirant de l'algorithme d'Euclide.

Exactement ! y'en a deux mais moi je préfère celle-ci :
Pour M.houssa:

posons a=2011 et b=1431
d'après la division euclidienne on obtient a=b+580 => 580=a-b
d'une autre part b=580.2+271 => b-2(a-b)=271 => 271=3b-2a
.......................................
.......................................
.......................................
après un nombre de divisions euclidiennes et de substitutions par a et b on obtient 565a-794b=1 d'où (565,-794) est une solution

merci

tarask et othmann

une idée encore : congruences (mod 1431)

résoudre 2011X = 17 (mod 1431)

....................................................................

houssa a écrit:

merci

tarask et othmann

une idée encore : congruences (mod 1431)

résoudre 2011X = 17 (mod 1431)

....................................................................

Bonsoir M.Houssa
je sais pas si vous voulez une démonstration qui s'appuie seulement sur la congruence ou bien tout simplement résoudre 2011X = 17 (mod 1431) qui est équivalente à ( il existe un y de Z tel que 2011X-1431y=17 .... )
j'ai dit ça parce que je crois pas qu'on peut la résoudre avec congruence .....

Il se peut que je me trompe

P.S: dsl si j'ai pas bien compris ce que vous voulez

Peut-être que l'idée que nous soumet M.houssa c'est de trouver une solution à partir de la congruence en faisant un petit tableau ?

salam

justement je m'attendais au mot tableau....Mais modulo 1431 ce n'est pas de la blague....

l'idée est de partir de : 2011X = 17 (mod 1431)

et d'arriver à -----> X = ? (mod 1431) en réduisant de plus en plus le coefficient de X.

-----------------------------------------------

une façon :

2011X = 17 (mod 1431)

580X = 17 (mod 1431) .............(a)

x par 3

1740X = 51 (mod 1431)

309X = 51 (mod 1431)..............(b)

(a)-(b)

271X = -34 (mod 1431)

etc................

.