Groupes - Ordre et Divers ....

BJR à Toutes et Tous !!
& Saha Aidkoum !!

Je Voius propose ceci :

n étant un entier non nul .
Démontrer , par récurrence , que tout groupe abélien G ( sa Loi est notée + et son Neutre 0 )
d'ordre INFERIEUR ou EGAL à n et possédant la propriété suivante :
Pour tout x dans G , x+x=0
alors G est d'ordre une PUISSANCE de 2 .

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!
& Saha Aidkoum !!

Je Voius propose ceci :

n étant un entier non nul .
Démontrer , par récurrence , que tout groupe abélien G ( sa Loi est notée + et son Neutre 0 )
d'ordre INFERIEUR ou EGAL à n et possédant la propriété suivante :
Pour tout x dans G , x+x=0
alors G est d'ordre une PUISSANCE de 2 .

Amicalement . LHASSANE

je vais utiliser la notation multiplicative ( x²=e )

d'abort pr tt x £ G x²=e implique que G est abélien puisque pr tt a,b de G (ab)²=a²b² ==> ab=ba

pr n =1 c'est évidant , supposons que c'est vrai pr tt k<=n-1 et prouvons la proposition pr tt k<=n

*supposons que n=k*2^a avec k impaire
soit x un élement de G different de e , on considere le groupe H= {e,x} engendré par x , H est clairement normal puisque G est abélien , considerons le groupe quotient G/H , soit a £G et a <> e, ona : (Ha)²= Ha²=H et donc pr tt element h de G/H h²=e, d'apres l'hypothèse de la récurrence , Ord( G/H ) est une puissance de 2 et donc k*2^(a-1) est une puissance de 2 , absurde, récurence achevée

desolé pour la mal-redaction et merci pour l'exo

BSR boujmi3 !!

Oui , c'est tout à fait celà !!
Parfait .

LHASSANE