Un autre exercice dans les ensembles

Bonjour tout le monde,
Aidez moi par pitié dans cet exercice, j'ai pas très bien compris la solution proposé dans le site ..

a)
- Montrons que si A Union B = E, alors f est injective.
Soient X et Y deux parties de E telles que f(X) = f(Y).
f(X) = f(Y)
=> (X Inter A , X Inter B) = (Y Inter A , Y Inter B)
=> [ (X Inter A) = (Y Inter A) ] et [ (X Inter B) = (Y Inter B) ]
=> (X Inter A) Union (X Inter B) = (Y Inter A) Union (Y Inter B)
=> X Inter (A Union B) = Y Inter (A Union B)
=> X Inter E = Y Inter E
=> X = Y
- Montrons que si f est injective, alors A Union B = E.
On a d'un côté : f(A Union B) = (A Union (A Inter B) , B Union (A Inter B)).
Or (A Union (A Inter B)) doit être inclus dans A, cela veut dire que (A Union (A Inter B)) est égal à A. Également, (B Union (A Inter B)) = B.
Donc f(A Union B) = (A , B)
Et d'un autre : f(E) = (E Inter A , E Inter B) = (A , B)
Par injectivité, A Union B = E

Merci pour la réponse Dijkschneier,
Mais, tu m'excuseras, il y a une toute petite ligne que je n'arrive pas à comprendre..

Citation :

Montrons que si f est injective, alors A Union B = E.
On a d'un côté : f(A Union B) = f(A Union (A Inter B) , B Union (A Inter B)).
Or (A Union (A Inter B)) doit être inclus dans A, cela veut dire que (A Union (A Inter B)) est égal à A. Également, (B

Comment ça ?

Pardon, le f s'est immiscé alors qu'il ne le doit pas.
Je corrige :
f(A Union B) = (A Union (A Inter B) , B Union (A Inter B)).
Car (A Inter (A Union B)) = (A Inter A) Union (A Inter B) = A Union (A Inter B)
Et la même chose pour la seconde composante du couple.

vive a sup 3

b)
- Montrons que si A Inter B = {}, alors f est surjective.
Soit (F,G) une partie de P(A)xP(B).
Alors il existe (X,Y) tel que (X Inter A = F) et (Y Inter B = G)
Et X est nécessairement inclus dans A, et Y dans B : donc X Inter B = {}, et Y Inter A = {}
De fait : f(X Union Y) = ( (X Union Y) Inter A , (X Union Y) Inter B ) = ( (X Inter A) Union (Y Inter A) , (X Inter B) Union (Y Inter B) ) = (F, G)
- Montrons que si f est surjective, alors A Inter B = {}.