Formes linéaires sur M_n(IK)

Bjr , De l'aide SVP !!

1- Détérminer toutes les formes linéaires sur M_n(IK) , On pourra considérer la forme linéaire :

f_A : M_n(IK) ---> IK Avec A £ M_n(IK)

M ---> Tr(AM)

2- MQ tt hyperplan de M_n(IK) contient au moins une matrice inversible .


Merci D'avance !!

mathisos a écrit:

Bjr , De l'aide SVP !!

1- Détérminer toutes les formes linéaires sur M_n(IK) , On pourra considérer la forme linéaire :

f_A : M_n(IK) ---> IK Avec A £ M_n(IK)

M ---> Tr(AM)

BJR mathisos !!
C'est un Classique en Prépas ....
[Mn(K)]* , Dual Algébrique de Mn(K) , est exactement l'ensemble des formes linéaires du type
M -----------> Trace(tA.M) ; A quelconque dans Mn(K) .

Notation : tA désigne la TRANSPOSEE de la matrice A .

et pour la Démo , Je te donne un Lien ( il s'agit de l'exercice 3 )) :

http://www.ilemaths.net/maths_p-dualite-02.php

Amicalement . LHASSANE

mathisos a écrit:

Bjr , De l'aide SVP !!

1- Détérminer toutes les formes linéaires sur M_n(IK) , On pourra considérer la forme linéaire :

f_A : M_n(IK) ---> IK Avec A £ M_n(IK)

M ---> Tr(AM)

2- MQ tt hyperplan de M_n(IK) contient au moins une matrice inversible .

Salut mathisos !!

Une indication pour la question 2)
Si H est un HYPERPLAN de Mn(K) alors il existe une Forme Linéaire sur Mn(K) dont le Noyau est H .
Puis tu branches avec la question 1) ....

Bonne Recherche .
Amicalement . LHASSANE

pour la premiere kestion on pourra utiliser une autre methode a part le theoreme de representation
on peut expliciter en utilisant produits avec les matrices elementaire on trouve a(ij)=f(Eji)