Formes linéaires sur M_n(K)

Salut,
Soit K = R ou C. Montrer que pour toute forme linéaire f définie sur M_n(K), il existe A de M_n(K) telle que : f = (M |--> tr(AM)).

C'est un Classique en Prépas ....
[Mn(K)]* , Dual Algébrique de Mn(K) , est exactement l'ensemble des formes linéaires du type
M -----------> Trace(tA.M) ; A quelconque dans Mn(K) .

Notation : tA désigne la TRANSPOSEE de la matrice A .

et pour la Démo , Je te donne un Lien ( il s'agit de l'exercice 3 )) :

http://www.ilemaths.net/maths_p-dualite-02.php

AmiSimplement .

Oui et il y a peut-être une autre preuve dans la littérature qui constate que M_n(K) est isomorphe à son dual et que par voie de conséquence il suffit de montrer que le morphisme
phi : M_n(K) --> M_n(K)*
A |--> (M |--> tr(AM))
est injectif (Ker(phi)={0}) pour établir sa bijectivité.

Dijkschneier a écrit:

Oui et il y a peut-être une autre preuve dans la littérature qui constate que M_n(K) est isomorphe à son dual et que par voie de conséquence il suffit de montrer que le morphisme
phi : M_n(K) --> M_n(K)*
A |--> (M |--> tr(AM))
est injectif (Ker(phi)={0}) pour établir sa bijectivité.

Puisque Mn(K) et son Dual Algébrique sont ISOMORPHES pour leur structures d'e.v
Ton morphisme phi pour être bijectif , on a le choix :
1) Montrer qu'il est surjectif et c'est ce qui est justifié dans la Démo figurant dans le Lien que je t'ai proposé avec n=p .... apparemment c'est plutôt COOL ....
2) Montrer qu'il est injectif et c'est ce que tu cherches à établir ???

Je pense que c'est un peu de la COQUETTERIE de ta part

Bonjour,
Comme suite à l'exercice, appliquer le résultat pour résoudre celui ci
https://mathsmaroc.jeun.fr/t17922-classique
P.S: ils sont souvent donnés ensemble lors d'un oral.