formes quadratiques : egalité Cone isotrope et noyau

Bonjour !

Soit q une forme quadratique sur E.

Montrer que N(q)=C(q) ssi C(q) est un sev de E

Montrer que C(q)=N(q) => q est de signe constant.

personne?

Pour la deuxieme question je pense que tu t'es trompée dans le sens de l'implication :

ce que l'on a c'est : q de signe constant => C(q)=Ker(q)

Preuve :

déjà on a toujours : C(q) est inclus dans Ker(q)

si q est positive par exemple, soit b la forme bilinéaire associée ; par cauchy-schwarz on a :

|b(x,y)|=<q(x)q(y)

donc q(x)=0 => pour tout y b(x,y)=0 d'où : Ker(q) est inclus dans C(q)

et si q est négative, -q est positive donc par ce qui précède : C(q)=C(-q)=Ker(-q)=Ker(q)

@Callo : On a l'équivalence en fait, mais le sens le plus interessant est celui que j'ai écrit. Je n'ai pas demandé le sens inverse parce qu'il est presque évident, par CS, comme tu l'as fait.
L'autre sens n'est pas tres difficile en fait ...

Par contre pour Montrer que N(q)=C(q) ssi C(q) est un sev de E

C'est le sens inverse qui me pose un probleme ..

Pour la deuxième question (par défaut, on se place en dimension finie) :
Soit q une quadratique dont la polaire est f.
On suppose que ker(q) = C(q).
Soit F un supplémentaire de C(q) dans E.
Il suffit de montrer que q est exclusivement positive ou négative sur F.
Afin d'aboutir à une contradiction, supposons qu'il existe deux vecteurs u et v de F tels que q(u) > 0 et q(v) < 0.
Montrons alors que u et v sont linéairement indépendants.
Soient b et c deux réels tels que b.u + c.v = 0.
Alors f(u,b.u+c.v) = 0 ==> bq(u) + cf(u,v) = 0
Et f(b.u+c.v,v) = 0 ==> bf(u,v) + cq(u) = 0
La première égalité fois b moins la deuxième fois c donne b²q(u) - c²q(v) = 0.
Donc b²q(u) + c²(-q(v)) = 0.
D'où facilement b = c = 0.
Maintenant, on considère l'application g : [0,1] ---> IR qui à t associe q((1-t)u+tv).
Alors g est continue et vérifie g(0) > 0 et g(1) < 0.
Le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un t strictement compris entre 0 et 1 tel que q((1-t)u+tv) = 0.
Donc (1-t)u+tv appartient à C(q), et comme il appartient aussi à F, alors il est nul.
Là est la contradiction convoitée car t # 1 et t # 0.
Pour la première question : l'implication C(q) est un s-e.v. ==> C(q) = ker(q) me semble assez délicate. J'y réfléchirais.

On a prouvé que C(q) = ker(q) si et seulement si q est de signe constant sur E.
Retour sur la première question :
Soit q une quadratique dont la polaire est f.
On suppose que C(q) # ker(q), montrons que C(q) ne peut pas être un sous-espace vectoriel.
q n'est pas de signe constant, alors il existe deux vecteurs u et v de E tels que q(u) > 0 et q(v) < 0.
On considère l'équation quadratique d'inconnue t : q(u+t.v) = 0.
Elle est équivalente à q(v)t² + 2f(u,v)t + q(u) = 0.
Son discriminant est d = 2√(f(u,v)² - q(u)q(v)) ≥ 2√(-q(u)q(v)) > 0.
Donc il existe deux réels distincts x et y tels que q(u+x.v) = q(u+y.v) = 0, c'est-à-dire tels que u+x.v et u+y.v appartiennent à C(q).
Maintenant : v = ((u+x.v) - (u+y.v))/(x-y) est une combinaison linéaire de ces deux vecteurs de C(q) mais n'appartient pas à C(q) car q(v) < 0.
D'où C(q) n'est pas un sous-espace vectoriel de E.
Par contraposition : C(q) est un s-e.v. de E ==> C(q) = ker(q).