Exercice pour un champion

Bonjour tout le monde
Voila un exercice pas mal qui est au niveau d`un vrai matheux
soient f et g et h trois fonctions continues sur un intervalle I telles que quelle que soit x appartenant a I
f(x) est entre g(x) et h(x)
Montrer que si chacune des deux fonctions g et h admet un point fixe dans I alors f en admet un aussi
Bonne chance

Salut,
ton exo est faux ou il ya un truc qui manque.

non, je suis sur qu`il est juste

salam

supposons : g(x) < f(x) < h(x) (au sens large)

et g(a) = a , h(b) = b ===> a < b

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soit u(x) = f(x) - x

TVI appliqué à u sur [a,b]

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u continue

u(a) = f(a) - a = f(a) - g(a) > 0

u(b) = f(b) - b = f(b) - h(b) < 0

====> il existe c dans [a,b] inclus dans I tel que u(c) = 0

====> f(c) = c.

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merci beaucoup