Si tu es un matheux, viens ici

Bonjour tout le monde
Voila un exercice que je veux partager avec vous, je veux dire les vrais matheux
soit une fonction f definie sur R+ tel que :
f(x) = ( racine de x2 +1) + 2x
Montrez que f est une bijection de R+ vers un intervalle a determiner, puis determiner f-1(x)
Bonne chance a vous

bonjour


f est continue et strictement croissante sur IR+ ,

donc elle réalise une bijection de IR+ vers IR+

pour tout x dans IR+ et pour tout y de IR+ y = f-1(x) <=> f(y) = x

donc , f(y) = x <=> V(y^2+1) = x-2y <=> y^2+1 = (x-2y)^2 avec (x-2y) >= 0 .......

tu trouvera à la fin je crois : y = ( 2x+V(x^2+3) )/3 sauf erreur bien sur

@ + .

Galois 94 a écrit:

bonjour


f est continue et strictement croissante sur IR+ ,

donc elle réalise une bijection de IR+ vers IR+

pour tout x dans IR+ et pour tout y de IR+ y = f-1(x) <=> f(y) = x

donc , f(y) = x <=> V(y^2+1) = x-2y <=> y^2+1 = (x-2y)^2 avec (x-2y) >= 0 .......

tu trouvera à la fin je crois : y = ( 2x+V(x^2+3) )/3 sauf erreur bien sur

@ + .

Bonsoir Galois 94
une petite remarque : ne crois-tu pas qu'il faut aussi traiter le cas de x-2y<0 (pour avoir l'équivalence )

salam

ERREURS et PRECIPITATIONS (GALOIS 94)

f est continue , strictement croissante

===> f est une bijection de IR+ sur f(IR+) = [1,+inf[ et non IR+

pour la réciproque:

g = réciproque de f : [1,+inf[ ------------> IR+

g(x) = y <==> f(y) = x

R(y²+1) + 2y = x

==> y²+1 = (x-2y)²

===> 3y² -4xy +x²-1 = 0

Delta = 16x²-12x² + 12 = 4x²+12 > 0

==> y' = (2x+R(x²+3))/3 ou y" = (2x-R(x²+3))/3

pour x=1 il faut que y = 0 ====> g(x) = y" = [2x - R(x²+3)]/3

...................................................................

C`est tout a fait juste Mr.Houssa
Merci pour vos efforts vous et aussi Galois94
A bientot

on a f(x)=y on doit trouver x en fonction de y.
V(2x+1) + 2x=y <==> V(2x+1) + 2x+1 +1/4 -1-1/4=y <==> [V(2x+1) +1/2]²=y+5/4
le reste est facile .