Sous-problème complexe

Soit θ le réel de ]0,2π[ tel que cos(θ) = 0,28 et sin(θ) = 0,96.

Pour tout entier naturel p, on pose z_p = e^(ipθ) et ω_p = z_(2^p).

(I) Montrer que (28+96i)^(2^k) = a_k + i.b_k avec a_k congru à 8 modulo 10 et b_k congru à 6 modulo 10.

(II) En déduire que Re(ω_k) = 10^(-2^(k+1)) . a_k

(III) Montrer que les ω_k sont distincts deux à deux.

(IV) Montrer que les z_k sont distincts deux à deux.