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1: Montrer qu'il n'existe que trois valeurs de n pour lesquelles on peut paver le plan avec
des polygones réguliers égaux ayant le même nombre n de côtés.
2: ABCD est un quadrilatère convexe tel que la droite (CD) soit tangente au cercle de diamètre
[AB].
Démontrer que (AB) est tangente au cercle de diamètre [CD] si et seulement si
(BC) est parallèle à (AD).
3: .Un cylindre de diamètre inférieur 10 cm contient de l'eau jusqu'a une hauteur de 4 cm.
On immerge une boule qui affleure juste la surface de l'eau.
C'est à dire que le plan de cette surface est tangent à la boule.
Question
Quel est à 0,001 près le rayon de la boule?
4: A , B et C sont trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
Les coordonnées de ces points sont respectivement (0 ; 0) , (b ; 0) et (3 ; 4) , b est un nombre réel > 0.
K est le centre du cercle (C) inscrit au triangle ABC.
Question
Quels sont les coordonnées de K et le rayon du cercle (C) en fonction de b?
Comment chosir le point B pour K et le centre de gravité du triangle ABC soient égaux ?
5: ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4
6: ABC est un triangle (A , B et C non alignés).
M , N et P sont les centres respectifs de [AB] , [BC] et [CA].
F , G et H sont 3 points situés à l'extérieur du triangle ABC tels que
MF = AB , NG = BC , HP = AC , (MF) (AB) , (NG) (BC) et (HP) (AC).
Déterminer
7: On rappelle que .
ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R = 1cm. x est réel > 0.
M , N , P, Q et R sont 5 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] , [DE] et [EA] tels que:
AM = BN = CP = DQ = ER = x.
Questions:
Déterminer la longueur des côtés du pentagone ABCDE ainsi que son aire.
Montrer que MNPQR est un pentagone régulier et calculer en fonction de x la longueur de ses côtés ainsi que son aire.
Pour quelle valeur de x l'aire de MNPQR est-elle maximale ?
8: (P) est la parabole d'équation "y = x² " dans le plan muni d'un repère orthonormé.
A est le point de (P) d'abscisse 2, (TA) est la tangente à (P) en A.
Montrer qu'il existe exactement deux cercles admettant pour tangentes la droite (TA) et l'axe des abscisses.
Déterminer le centre et le rayon de chacun de ces cercles.
9: Montrer que pour tout triplet ( x , y, z) de réels positifs, on a : x(x-z)² + y(y-z)² > (x-z)(y-z)(x+y-z)
Indications:
Commencez par remarquer que l'on peut supposer que x > y > z > 0 . (dans les autres cas c'est évident)
Posez alors X = x-z , Y=y-z et Z=x+y-z. Ceci donne z = Z-X-Y , x=Z-Y et y=Z-X.
avec les relations: X > 0 , Y > 0 et Z > X + Y.
On veut alors : X²(Z-Y) + Y²(Z-X) - XYZ > 0.
Or, X²(Z-Y) + Y²(Z-X) - XYZ = Z(X² + Y² - XY) - (X + Y)XY
Comme Z > X + Y et que X et Y sont > 0 , on a donc:
X²(Z-Y) + Y²(Z-Y) - XYZ > Z(X² + Y² - XY) - ZXY = Z(X² + Y² - 2XY) = Z(X + Y)² > 0.
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