Suites

salam

On considére les suites (Un) et (Wn) :

Un=1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)
Wn=1+ 1/4 + 1/9 + ...+1/n²

1) Calculs U1 et U2 puis W1 & W2
2) Demontre que (Un) minorée en 1
3) Demontre que (Wn) majorée en 2

1- ok
2- (Un) décroissant donc =< Uo=1.
3- k>=2 1/k² =<1/(k-1)k= 1/(k-1)-1/k
alors : Wn =< 1+ sum( 1/(k-1)-1/k de k=2 à k=n)=1+1-1/n=2-1/n=<2.

Salam aissa j pas compris

3- sum( f(k)-f(k-1) , de k=1 à k=n) =f(n)-f(o).
à verifier c'est trés simple
alors sum( (1/(k-1) - 1/k) , de k= 2 à k = n ) = 1 - 1/n
1/k² =< 1/(k-1)- 1/k pour tout k >= 2
alors sum ( 1/k² , de k=2 à k=n) =< sum ((1/(k-1) - 1/k) , de k=2 à k=n)
alors Wn =< 1+1-1/n =<2 .
faite boujer un peu le stylo et tu comprendra.
il vaut mieux tout chercher que de chercher à tout comprendre.
bon courage. et bonne nuit.

slt je crois ke g trouvé la réponse pr la troisiéme kestion;
on peut constater ke wn est décroissante alors wn<1<2!!!

w(n+1)=wn+1/(n+1)² ==> (wn) croissante
par contre, pour aissa (Un) décroissante à vérifier!
Un-U(n+1)
=1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)
-(1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+4)
=1/(n+1) - 1/(3n+2)- 1/(3n+3)- 1/(3n+4)
=2/(3n+3) - 1/(3n+2)- 1/(3n+4)
==> le signe de Un-U(n+1) est celui de
2(3n+2)(3n+4)-(3n+3)(3n+4)-(3n+3)(3n+2)
=(18n²+36n+16)-(9n²+21n+12)-(9n²+15n+6)
=-2
Donc (Un) est également croissante
Un=1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)
=< 1/(n+1)+1/(n+1)+...+1/(n+1) ceci ( 2n+1) fois
=(2n+1)/(n+1)=2-1/(n+1) <2

Un>U0=1