L'image réproque d'un borné n'est pas borné

Soit f : R²---> R une surjection continue. Montrer que f^(−1){a} n’est bornée pour aucun a € R

Deux remarques :
- f est définie sur R² ou bien sur R ? Admettons sur R.
- Si f est une bijection, disons l'identité sur R, alors pour tout réel a, f^(-1)({a}) est le singleton {a}, et ce singleton est bien borné.

Supposons qu'il existe a dans R tel que K= f^(-1)({a}) soit bornée. Alors R2/K serait connexe par arc et donc connexe
Alors puisque f est continue, f( R2/K)=R/{a} serait aussi connexe. Absurde.

m.elouafi a écrit:

Supposons qu'il existe a dans R tel que K= f^(-1)({a}) soit bornée. Alors R2/K serait connexe par arc et donc connexe
Alors puisque f est continue, f( R2/K)=R/{a} serait aussi connexe. Absurde.

L'écriture en rouge est fausse en général prendre par exemple K=une couronne

bonjour à tous

ça m'as fait souvenir sur qlq résultat due par le compactifié d'Alexandroff déja Mr Attoui a parlé sur le couronne qui est plus proche de la reponse, en effet dans IR²
la sphère de Riemann S (connexe) est la compactifié d'Alexandroff de IR², soit f:IR²-->IR une application continue et surjective et soit a£ IR alors f^(-1){a} est un fermé de IR² (IR separé donc {a} est fermé) soit alors O = Int(f^(-1){a}) un ouvert de IR² alors(O est non vide car f est surjective) puisque S-O est connexe alors les composantes de IR²-O sont non bornés ....

je sais pas, mais je pose cela juste pour etablir est ce qu'il y'a une relation entre Compactifié d'Alex et cet exo ou non ???

et merci

Effectivement ma réponse était fausse!!
Voici une autre: On peut supposer a= 0
Posons U=f^(-1)({0}), V=f^(-1)( ]-oo, 0[) et W=f^(-1)( ]0,+oo[)
Supposons qu'on peut inclure U dans une boule ouvert B bornée. Comme R^2\B est connexe par arcs et par raison de continuité alors f garde un signe constante sur R^2\B disons par exemple >0.
Alors forcément V est inclue dans B et donc bornée. Par continuité f(V) serait bornée aussi.
Ceci est absurde car f étant surjective on a f(V) = ]-oo, 0[