Fonction constante

Soit f une fonction continue tel que f : R -- R
quelque soit x£ R f(x) = f(x²)
Montrer que f est constante .

salut

f est paire en effet pr tt x£ IR , -x£ IR et en plus f(-x) = f(x²) = f(x) ==> f(-x) = f(x) donc f est pair il suffit d'etudier f sur IR+ donc:
si 0< x <1:
f(x²) = f(x) = ...= f(x^(1/2n)) f est continue passons à la limite n->+00 alors f(x) = lim f(x^(1/2n)) = f(1)

donc f est constante sur ]0,1[.
si x> 1:

f(x) = f(x-²) = ... = f(x^(-2n)) passons à la limite avec la continuité de f on obtient f(x) = f(0) donc f est constante sur ]1,+00[
f est continue sur IR montre que f continue en 0 et 1 donc constante partout ....

j'ai donné l'idée avec mois des details
bonsoir

mathema a écrit:

salut

f est paire en effet pr tt x£ IR , -x£ IR et en plus f(-x) = f(x²) = f(x) ==> f(-x) = f(x) donc f est pair il suffit d'etudier f sur IR+ donc:
si 0< x <1:
f(x²) = f(x) = ...= f(x^(1/2n)) f est continue passons à la limite n->+00 alors f(x) = lim f(x^(1/2n)) = f(1)

donc f est constante sur ]0,1:

[color=red] f(x) = f(x²) = ... = f(x^(2n)) passons à la limite avec la continuité de f on obtient f(x) = f(0) donc f est constante sur ]1,+00[

Tu veux dire : f(x) = f(x-²) = ... = f(x^(-2n)) ===> f(x)=f(0)

abdelbaki.attioui a écrit:

mathema a écrit:

salut

f est paire en effet pr tt x£ IR , -x£ IR et en plus f(-x) = f(x²) = f(x) ==> f(-x) = f(x) donc f est pair il suffit d'etudier f sur IR+ donc:
si 0< x <1:
f(x²) = f(x) = ...= f(x^(1/2n)) f est continue passons à la limite n->+00 alors f(x) = lim f(x^(1/2n)) = f(1)

donc f est constante sur ]0,1[color=red]:

f(x) = f(x²) = ... = f(x^(2n)) passons à la limite avec la continuité de f on obtient f(x) = f(0) donc f est constante sur ]1,+00[

Tu veux dire : f(x) = f(x-²) = ... = f(x^(-2n)) ===> f(x)=f(0)

evidement je veux dire ça Mr Attioui c'était faute de frappe .... je vais l'Editer lol

C'est juste mathema, belle solution