techniques olympiade:1

chaque semaine, je vais essayer de developper une technique d olympiade, c est à vous de comprendre, de répondre, d ajouter des améliorations voir même poster des exos qu on peut faire avec cette technique.

sujet :inégalité: :
la première inégalité qu il faut connaitre est : pour tout x de R : x²>=0 c est à dire un carré est toujours positif

Exemple : 4²=16>=0
0²=0>=0
(-5)²=25>=0
en utlisant l inégalité précédente, on peut démontrer bcp d inégalités classiques :

qu est ce qu on peut dire a propos de (a-b)² ? c est un carré. alors ? il est positif. donc? on developpe : a²+b²-2ab>=0 d ou a²+b²>=2ab

a>0,b>0 (pr mettre racine) qu est ce qu on peut dire a propos de (rac(a)-rac(b))² on developpe:a+b-2rac(ab)>=0 d ou a+b>=2rac(ab)

résumé:à connaitre par coeur
x²>0
a²+b²>=2ab
a+b>2rac(ab) pour a et b positifs

Exercices :
1) soit x >0 , montrer que : x+1/x >=2

2) soient a>0 , b>0 : montrer que a/b+b/a>=2

3) soient x,yet z tels que x+y+z=6, montrer que x²+y²+z²>=12 ( point de départ : commencer par (x-2)²>=0 ...)

4) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10
(remarquer que a²+b²>=2ab et que cd=1/ab ....)

5)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

6)soient x , y >0 montrer que :
x/(x^4+y²)+y/(y^4+x²) <=1/xy ( indication x^4+y²>=2x²y... )

7) -soient a,b>0
montrer que (a+b)(1/a+1/b)>=4 ( indication developper )
-soient a,b,c >0 montrer que :
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
généralisation:
soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n² ( developper et essayer de regrouper les termes de la forme a/b+b/a ensemble)

8 ) soit x et y poistifs ,montrer que:
x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1)

9)soient x,y,z des réels positifs montrer que :
x²/y²+y²/z²+z²/x²>= x/z+z/y+y/x



tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )

a+

salut bel_jad5 , merci pour tes efforts :

1/ on a : pour tout x de IR+* (Vx-V(1/x))² >= 0
===> x + 1/x - 2 >= 0
===> x + 1/x >= 2

2/ on pose : a/b = x on a alors : a/b+b/a = x + 1/x >= 2

3/on a : x² + 4 >= 4x , z² + 4 >= 4z , y² + 4 >= 4y

===> x² + y² + z² +12 >= 4(x+y+z)
===> x² + y² + z² >= 24-12
===> x² + y² + z² >= 12

Est ce que tu peux mettre des exercice pour l'application des inegalité chebychev et nesbitt ?

je vais faire ça , mais c pour après, d abord je veux que tout le monde assimile ces petites techniques, c après qu on va passer aux choses serieuses

je viens d ajouter 2 exos

pour le 4 ème voila la rèponce
on a abcd=1 alors ab=1/cd , bc=1/ad,bd=1/ac alors ab+ac+bd+bc+dc+ad=1/cd+ac+1/ac+1/ad+dc+ad
=ac+1/ac+cd+1/cd+ad+1/ad et en (a-1)²>=0alors a²+1>=2a alors a+1/a>=2.alors ac+1/ac+cd+1/cd+ad+1/ad>=6;alors
ab+bc+cd+ad+bd+ac>=6.et on a a²+b²>=2ab,a²+c²>=2ac ;a²+d²>=2ad,b²+c²>=2bc,c²+d²>=2cd et b²+d²>=2bd (en utilisant (x-y)²>=0sa donna x²+y²-2xy>=0
alors x²+y²>=2xy) alors 3a²+3b²+3c²+3d²>=2(ab+ac+bc+db+cd+ad) alors a²+b²+c²+d²>=2/3(ab+ac+db+dc+ad+bc)et on a ab+bc+cd+ad+ac+db>=6 alors a²+b²+c²+d²>=2/3*6=4 on fait la somme et il nous donne
a²+b²+c²+d²+ab+ac+dc+bc+bd>=4+6=10
et pour le 5 ème on a (a-b)²>=0 et (a²-b²)²>=0 et (a^3+b^3)²>=0 donc a²+b²>=2ab et a^4+b^4>=2a²b² et a^6+b^6>=2a^3b^3 donc a/b +b/a >=2 et a²/b² +b²/a²>=2 et a^3/b^3 + b^3+a^3>=2 en fesant la somme somme on va avoir le rèsultat

pour les 2 questions (4) et (5) que tu viens d'ajouter :

4) on sait que : (a²+b²)/2 >= ab et (c²+d²)/2>= cd et (b²+d²)/2>= bd et (a²+c²)/2>= ac
puisque : abcd = 1 on a : ab = 1/cd , ac = 1/bd , bc = /ad , bd = 1/ac .
donc : a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd >= ab + 1/ab + bc +1/(bc) + ac + 1/ac + ab + 1/ab + bd + 1/bd
donc : a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd >= 2+2+2+2+2 =10

5)
on a : a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3
= a^3/b^3+b^3/a^3 + a²/b²+b²/a² + a/b+b/a >= 2 + 2 + 2
donc : a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

très bien Oumzil et saiif3301...j attend d autres réponses .
j ai ajouté 2 exercices.

slt a tout le monde
meci bel jad pour tout ca
1-) x²-2x+1>=0 dnc x+1/x>=2 x>0
2-)on pose x=a/b
3-)(x-2)²=x²-4x+4>=0 ; (y-2)²=y²-4y+4>=0 et (z-2)²=z²-4z+4>=0
dnc x²+y²+z²-24+12>=0 dnc x²+y²+z²>=12
4-) * >=3ab+3cd+bc+ad+ac+bd
*>=3ab+3/ab+bc+1/bc+bd+1/bd
*>=6+2+2=10
5-)on pose Y=a/b >0
dnc *=Y^3+Y²+Y+1/Y+1/Y²+1/Y^3>=2+2+2=6
6-)x²/x^4+y²+y²/y^4+x²<=1/xy<=x+y/2xy
7-)(a+b)(1/a+1/b)2+a/b+b/a>=2+2=4
comme l'autre
appliquant inequaite de cauchy a (raca1,,,,racan) et (1/raca1,,,,,,1/racan)
dnc inegalite ou bien la recurrence
on pose A=a1+a2+;;;+an e; B=an+1 ;A'=1/a1;;;1/an et B'=1/an+1
dnc *=AA'+AB'+A'B+1>=n²+2n+1=(n+1)²

pour chérif :
essaye de refaire 6 et 7 parce que c pas clair ce que t a fais ( essaye d utiliser juste la technique que j ai proposé , n essaye pas d utliser cauchy, car on l a pas encore fait, je vais la proposer après ...

slt a tout le monde
6-) x,y>0 x^4+y²>=2x²y et y^4+x²>=2y²x
dnc x²/x^4+y²+y²/y^4+x²<=1/xy(1/2x+1/2y)
2x,2y>=2 dnc 1/2x+1/2y <=1
dnc *
7-)*=a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b+3>=2+2+2+3=9
(a1+a2+a3+......+an)(1/a1+1/a2+1/a3+.....+1/an) =
(1+a1/a2+a1/a3+a1/a4+....+a1/an)+(a2/a1+1+a2/a3+....+a2/an)
+(a3/a1+a3/a2+1+.....a3/an)+..........+(an/a1+an/a2+an/a3+.....+1)
*=n+sum1<=i<k<=n(ai/ak+ak/ai)>=n+sum1<=i<k<=n 2=n(n-1)+n=n²

très bien pour le 7
ya qqch qui marche pas pour le 6
refai le...fait attention c est x/(x^4+y²) pas x²/(x^4+y²)

pour le 6ème on a x^4+y²>=2x²y et y^4+x²>=2y²x donc 1/x^4+y²=<1/2yx² et 1/y^4+x² =<1/2xy² donc x/x^4+y² +y/y^4+x²=<1/2(1/xy +1/xy)=1/xy pour le 7 on il faut juste applikè a/b + b/a>=2 et on a (a+b)(1/a+1/b)=a/b +b/a +2>=2 et on a (a+b+c)(1/a +1/b +1/c)=3+a/b+ b/a+a/c+c/a + b/c +c/b>=9 pour le dernier il faut faire le cauchy

slt a tout le monde
pour le 6-)
x/x^4+y²+y/y^4+x²<=1/2(1/xy+1/yx)=1/xy

pour saiif3301
essaye de faire la généralisation de 7 sans cauchy

je connait d_ja mè sè pas moi k il a fè sè pour cela j ai pas voulu ècrire

ok si tu le dis
je viens d ajouter 2 exos ( c les 2 derniers ) , si vous avez des exos du meme style , vous pouvez les poster

pour sè deux exercice sè moi k il ai a fè le 8ème on a (x-rac(y²+1))²+(y-rac(x²+1)²>=0 donc x²-2xrac(y²+1) +y²+1+y²-2yrac(x²+1)+x²+1>=0 donc 2(x²+y²+1)>=2(xrac(y²+1)+yrac(x²+1)) donc x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1) et pout l autre exercice d après l inègalitè de cauchy on a 3(x²/y² +y²/z² +z²/x²)>=(x/y +y/z+z/x)² et on a de tout a , b et c de R on a a²+b²>=2ab et a²+c²>=2ac et b²+c²>=2bc donc a²+b²+c²>=ab+bc+ac donc a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)>=3(ab+bc+ac) donc (a+b+c)²>=3(ac+bc+ab) on applike pour (x/y +y/z+z/x)²>=3(x/z +y/x+z/y) donc x²/y²+y²/z²+z²/x²>=x/z +z/y +y/x

bel_jad5 a écrit:

6)soient x , y >0 montrer que :
x²/(x^4+y²)+y²/(y^4+x²) <=1/xy ( indication x^4+y²>=2x²y... )
ion developper )

je crois c'est x/(x^4+y²)+y/(y^4+x²) <=1/xy qui est juste :

voilà sollution que proposes :
pour le 6)



pour le 7)


pour le


pour le 9 x²/2y²+y²/2z²>= x/y ....
la somme et on trouve ce qu'on veut .

très bien saiif3301, pour le dernier t a un peu compliquer la tache, il suffit juste de remarquer que x²/y²+y²/z²>=2x/z...

merci pour nous avoir donnè sè exercice voila un montrè ke si a, b et c sont des nombre rèel strictement positif ke (a^4+b^4+c^4)/abc >=a+b+c

très bien oumzil : j ai corrigé le 6...essaye de faire la généralisation sans utliser cauchy schawrtz, si tu arrives pas, regarde la démonstration de cherif

je la trouves pas

pour saiif3301: ton exo n est pas faisable avec la technique que j ai proposé...c plutot avec d autres techniques plus avancées, je vais les poster après...j espère que tout le monde a bien compris la méthode

si vous avez des questions a propos de cette technique, poster les, sinon, poster technique bien assimiler

ah oui le 5 ème maessage merci !

nn se exerice on peut le faire avec a²+b²>=2ab