Application d'un lemme ! (suites)

je vous propose cet exercice


P.S: c'est un lemme très connu , je vais donner son nom plutard

salut,
1)
on a lim Un=L
et Vn=1/n(U1+...+Un)
donc lim Vn= 1/n * (lim U1 +limU2 + ...+lim Un)
=1/n * (nL) = L
2)on pose Un = racine de (n+1)/n
donc lim Un =L=1
et puisque lim Vn=lim 1/n * (U1+...+Un)=L=1
donc sigma ..=1

Salam ^^ mabrouk 3wachrk ^^ et a tout les membres ^^ !
suite de Gesaro ! classique !
1)-
Démonsration d'aprés définition (suppose n>=A+1) je vais poster la dém vitement !
|Vn-L|<= 1/n[sigma(k=1,A) |Uk - L| +sigma(k=A+1,n)|uk-l|]
on a uK-L<epsilon/2
alors
1/n sigma(k=1,A) |Uk - L| < epsilon/2
et 1/n sigma(k=A+1,n)|uk-l|<epsilon/2
|Vn-L|<= 1/n[sigma(k=1,A) |Uk - L| +sigma(k=A+1,n)|uk-l|]<epsilon/2 .2=epsilon

alors lim(Vn)=L
2)-
sigma(k=1,n)rac(k+1/n²k) = 1/n sigma (k=1,n) rac(k+1/k)
suppose Un=rac(n+1/n) ==> lim Un =1
d'aprés Gesaro ==> lim Vn=1

A+

Matdonle20 a écrit:

salut,
1)
on a lim Un=L
et Vn=1/n(U1+...+Un)
donc lim Vn= 1/n * (lim U1 +limU2 + ...+lim Un)
=1/n * (nL) = L
2)on pose Un = racine de (n+1)/n
donc lim Un =L=1
et puisque lim Vn=lim 1/n * (U1+...+Un)=L=1
donc sigma ..=1

Bonsoir Matdonle20
Rouge: ???? limU1 =? limU2=? .....
on ne peut pas distribuer la limite dans une série !!!! il faut faire attention ! c'est pas si simple !
Je te laisse le soin de rectifier (changer de méthode biensur)

En plus de la faute remarqué par tarask , c'est une somme infinie ; ta démonstration comporte donc une autre erreur car n tend vers +oo. Et donc la quantité : 1/n*(nL) est une forme indéterminée.
La démonstration de ce "lemme" (c'est plutôt un théorème à part entière) se fait par définition de limite.

Othmaann a écrit:

En plus de la faute remarqué par tarask , c'est une somme infinie ; ta démonstration comporte donc une autre erreur car n tend vers +oo. Et donc la quantité : 1/n*(nL) est une forme indéterminée.
La démonstration de ce "lemme" (c'est plutôt un théorème à part entière) se fait par définition de limite.

Exactement !
C'est d'ailleurs ce qu'a fait master
P.S: @master , tu peux réécrire ta démonstration ? j'ai du mal à suivre !!!

tarask a écrit:

Othmaann a écrit:

En plus de la faute remarqué par tarask , c'est une somme infinie ; ta démonstration comporte donc une autre erreur car n tend vers +oo. Et donc la quantité : 1/n*(nL) est une forme indéterminée.
La démonstration de ce "lemme" (c'est plutôt un théorème à part entière) se fait par définition de limite.

Exactement !
C'est d'ailleurs ce qu'a fait master
P.S: @master , tu peux réécrire ta démonstration ? j'ai du mal à suivre !!!

oué ce que je voulais dire ! meme remarque !
pr tarask je le réécris 2m1 incha2llah ! ^^ mnt je vais dormire

master a écrit:

tarask a écrit:

Othmaann a écrit:

En plus de la faute remarqué par tarask , c'est une somme infinie ; ta démonstration comporte donc une autre erreur car n tend vers +oo. Et donc la quantité : 1/n*(nL) est une forme indéterminée.
La démonstration de ce "lemme" (c'est plutôt un théorème à part entière) se fait par définition de limite.

Exactement !
C'est d'ailleurs ce qu'a fait master
P.S: @master , tu peux réécrire ta démonstration ? j'ai du mal à suivre !!!

oué ce que je voulais dire ! meme remarque !
pr tarask je le réécris 2m1 incha2llah ! ^^ mnt je vais dormire

haha d'accord
J'attendrai alors , et bonne nuit !!!

salut,
on a Un convergente donc
∃N∈ℕ*,n≥N/ |Un-l|<epsilon
donc ∑|Un-l|<n*epsilon
équivaut a |∑(Un) - nl|<n*epsilon
donc |1/n*∑(Un) - l|<epsilon
|Vn-l|<epsilon
donc lim Vn =l