lemme a connaitre

soit a,b,c trois nombres reels positives
montrer que a^2+b^2+c^2+2abc+1>=2(ab+bc+ac).

bon, voici une solution :
sachant qu'il ya au moins deux nombres, qui sont en meme temps soit supérieurs à 1 soit inférieurs donc :
--dans le cas de : (0<a=<1 et 0<b=<1) ou (b>=1 et a>=1) on a :
1 + ab >= a + b et aussi on a : c² + 1 + 2abc >= 2c(1+ab) >= 2c(a+b) = 2ac + 2bc
or a²+b² >= 2ab d'où le résultat !
--dans le cas de : (a>=1 et 0<b=<1) on a donc c>=1 ou bien 0<c=<1 donc on va appliquer la meme chose qu'avant quisqu'il y aura deux nombres qui sont en meme temps soit supérieurs à 1 soit inférieurs
ce qui donne : a² + b² + c² + 2abc + 1 >= 2 ( ab + ac + bc ) pour tout a,b,c > 0

yaura t il po une autre solution ?

oui c'est ça adam : En effet deux des trois nombres a-1, b-1 et c-1 ont le meme signe, supposant qu'il s'agit de b-1 et c-1 on a:
X=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)
donc X>=0.