Joli problème de Géo. (lemme à connaître)

Soit ABC un triangle.

Le cercle inscrit de centre I au triangle ABC touche les côtés BC, AC et AB dans D, E et F respectivement.

Notons L l'intersection de (IB) et (EF).

Montrer que .

ali-mes a écrit:

Soit ABC un triangle.

Le cercle inscrit de centre I au triangle ABC touche les côtés BC, AC et AB dans D, E et F respectivement.

Notons L l'intersection de (IB) et (EF).

Montrer que .

Très intéressant, voici ma preuve :

Nous devons prouver que CL est perpendiculaire à LB, ce qui équivalent vu la cyclicité du quadrilatère IECD à montrer que le pentagone DCLEI est inscriptible.
Alors, nous avons angle{ELI}=180-angle{ABI}-angle{EFB}=angle{AFE}-1/2angle{ABC}.
Or puisque AF=AE donc angle{AFE}=90-1/2angle{BAC} et ainsi : angle{ELI}=90-1/2(angle[ABC}+angle{BAC})=1/2angle{ACB}=angle{ECI} et ainsi le quadrilatère IELC est inscriptible ce qui donne : angle{BLC}=angle{ILC}=angle{IEC}=90

Mehdi.O a écrit:

ali-mes a écrit:

Soit ABC un triangle.

Le cercle inscrit de centre I au triangle ABC touche les côtés BC, AC et AB dans D, E et F respectivement.

Notons L l'intersection de (IB) et (EF).

Montrer que .

Très intéressant, voici ma preuve :

Nous devons prouver que CL est perpendiculaire à LB, ce qui équivalent vu la cyclicité du quadrilatère IECD à montrer que le pentagone DCLEI est inscriptible.
Alors, nous avons angle{ELI}=180-angle{ABI}-angle{EFB}=angle{AFE}-1/2angle{ABC}.
Or puisque AF=AE donc angle{AFE}=90-1/2angle{BAC} et ainsi : angle{ELI}=90-1/2(angle[ABC}+angle{BAC})=1/2angle{ACB}=angle{ECI} et ainsi le quadrilatère IELC est inscriptible ce qui donne : angle{BLC}=angle{ILC}=angle{IEC}=90

Superbe Mehdi.O !