Joli probléme: a+b=ab=a^b

Supposons que: a+b=ab=a^b (sans rapeller que a,b quelconque)
Montrez que: a=b=2

Bonne chance.

Salut je commence !

a=b(a-1)
a^b=b^b*(a-1)^b
ab=b^2(a-1)=b^b*(a-1)^b
(a-1) = b^b-2*(a-1)^b
alors , 1 = b^b-2*(a-1)^b-1
cela est juste si b^b-2 est 1, and (a-1)^b-1 est 1.
b^b-2 = 1 si b-2=0,alors b=2. (a-1)=1, donc a=2.

The Yassineno ! pr ttes presence d'erreurs signalez le moi !

salam

d'abord rectifier ( a et b entiers non nuls)

..............................

a+b=ab ====> a(1-b)=-b =====> a divise b =====> b= ka

a+ka=ka² ====> 1+k=ka ====>1 = k(a-1) =====> k = 1 ou -1

====> a = 2 ou 0

a=0 ===> b=0 ====> a^b = 0^0 non définie

conclusion a= 2 ===> b=2

.................................................

houssa a écrit:

salam

d'abord rectifier ( a et b entiers non nuls)

a+b = ab <=> (a-1)(b-1) = 1 résoud le problème

yassineno a écrit:

Salut je commence !

a=b(a-1)
a^b=b^b*(a-1)^b
ab=b^2(a-1)=b^b*(a-1)^b
(a-1) = b^b-2*(a-1)^b
alors , 1 = b^b-2*(a-1)^b-1
(b)^b-2=1, et (a-1)^b-1
b^b-2 = 1 si b-2=0,alors b=2. (a-1)=1, donc a=2.

The Yassineno ! pr ttes presence d'erreurs signalez le moi !

T'as commis des errors d'innatention Yassine, là-bas, dans la partie qui est en bleu, essaye de réctifier. Il faut démontrer ton passage du 1 = b^b-2*(a-1)^b-1 vers (b)^b-2=1, et (a-1)^b-1.
D'autre part: b^{b-2}=1, peut dire aussi que b=1=a

houssa a écrit:

salam

d'abord rectifier ( a et b entiers non nuls)

Bonjour Mr Houssa, ils sont plutot des réels, le fait des entiers rend le probléme trés façile.. Donc il faut chercher une autre methode.

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur [e;+()() [

alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de r^les que a £ [e;+l'infini [

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

on suppose que a et b < 0

==> a+b <0 et ab > 0 . contradiction .

on suppose que b < 0 < a

==> a^b > 0 > ab . contradiction.


Sauf erreur ..

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur lor=brown]alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de rôles que a £

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

Bonjour {}{}=l'infini ;
Il ya des passages sur les quelles tu dois les montré, j'attends que tu reprends.

salam

a et b réels n'est pas correct

car : a^b n'est pas toujours défini

en plus l'exo est exposé dans le forum Arihmétique

ce qui laisse penser aux entiers

.......................................................

houssa a écrit:

salam

a et b réels n'est pas correct

car : a^b n'est pas toujours défini

en plus l'exo est exposé dans le forum Arihmétique

ce qui laisse penser aux entiers

.......................................................

Bonjour Mr Houssam, je ne suis pas d'accord avec toi, a^b n'est pas défini que pour b=0, donc on va éviter çe cas dans la premiére réplique de la solution.

Ce n'est pas du façile exercise, regarde par çe liens:
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=1487
Jusqu'à maintenant, il n'ont pas trouvé de solution pour l'exercise.

salam

peut - on définir (-2)^pi ????

...................................

houssa a écrit:

salam

peut - on définir (-2)^pi ????

...................................

Aussi, il faut ajouter que (-x)^Pi (x Positive strictement) n'est pas définie.. Cela ne voullai pas dire qu'il faut supprimer l'exercise, il y on a d'autres methode pour trouver a=b=2 la seule solution.

Bonjour tout le monde!

C'est faisable avec le programme du tronc commun.
Je pense que j'ai trouvé une solution, mais ce n'est surement pas la plus courte!

On considère le système suivant:
a+b=a^b
{
ab=a^b

Résoudre le système revient à résoudre l'2quation:
∆= (a^b)² - 4a^b
= (a+b)² - 4 ab
= (a - b)² >ou = 0

donc soit √∆ = a-b ou √∆ = b-a

∆>0=> 1er cas:

Soit :

b= ( (a^b )- a+b )/2 et a= ( (a^b ) + a-b )/2
b= ( (a+b)- a+b)/2 et a= ( (a+b ) + a-b )/2
b=b et a=a
autrement di: 0*b=0 et que 0*a=0
donc S=lR

Prenons a=2 et b= 1:
a+b=3
ab=2
=> contradiction
donc:
b=/ ( (a^b )- a+b )/2 et a=/ ( (a^b ) + a-b )/2

∆>0 => 2ème cas:
Soit :

a= ( (a^b )- a+b )/2 et b= ( (a^b ) + a-b )/2
a= ( (a+b)- a+b)/2 et b= ( (a+b ) + a-b )/2
a= b et a=b

en remplaçant:
a+b= ab
2+b=2b
b=2
et ainsi:
a=b=2

=> ∆=0
∆=0
a-b=0
a=b=2

=> ∆=b-a
(Pas la peine de démontrer, puisqu'on inverse juste les rôles)

Donc a=b=2

C'est logique.
(Voilà M.Marjani, j'ai tout corrigé).
J'espère que c'est juste

J'attends d'autres réponses (plus courtes j'espère)!

M.Marjani a écrit:

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur lor=brown]alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de rôles que a £

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

Bonjour {}{}=l'infini ;
Il ya des passages sur les quelles tu dois les montré, j'attends que tu reprends.

salam ; pour le passage colorié a>e et g est strictement croissante

donc g(a) >g(e) c tout ...

{}{}=l'infini a écrit:

M.Marjani a écrit:

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur lor=brown] alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de rôles que a £

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

Bonjour {}{}=l'infini ;
Il ya des passages sur les quelles tu dois les montré, j'attends que tu reprends.

salam ; pour le passage colorié a>e et g est strictement croissante

donc g(a) >g(e) c tout ...

Je voullai dire qu'il fallait démontrer:
"Si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la méme intervallle ."
Pour arriver jusqu'à "a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0", si vous pouvez la démontrer le début, donc c'est fini.

najwa44 a écrit:

Bonjour tout le monde!
C'est faisable avec le programme du tronc commun.
Je pense que j'ai trouvé une solution, mais ce n'est surement pas la plus courte!

On considère le système suivant:
a+b=a^b
{
ab=a^b

Résoudre le système revient à résoudre l'equation:

x² - (a^b)x + a^b= 0

∆= (a^b)² - 4a^b
= (a+b)² - 4 ab
= (a - b)² >ou = 0
√∆ = a-b

on aura donc 2 cas:

=> 1er cas: ∆>0
Soit :

a= ( (a^b )- a-b )/2 et b= ( (a^b ) + a+b )/2
a= ( (a+b)- a-b)/2 et b= ( (a+b ) + a+b )/2
a= 0 et a=0

et donc: l'égalité a+b=a^b devient:
0+b=0^b
donc: b=0, et c'est impossible car si b=0 et a+b = a^b ; 0=0^0= 1.

=> 2ème cas: ∆<0

Soit :

b= ( (a^b )- a-b )/2 et a= ( (a^b ) + a+b )/2
b= ( (a+b)- a-b)/2 et a= ( (a+b ) + a+b )/2
b=0 et b=0

et donc: l'égalité a+b=a^b devient: a+0= a^0 donc a=1
et c'est impossible car si a=1 et b=1:
ab=a^b => 0*1=1^0 => 0=1

=> 3ème cas: ∆=0

∆=0
a-b=0
a=b

et on a :
a+b= a^b
2a=a^b (1)

d'autre part:
ab =a^b
a²=a^b (2)

a²=2a
a(a-2)=0
donc a=0 ou a= 2
(a=0 impossible)
donc a=2

en remplaçant:
a+b= ab
2+b=2b
b=2


Et ainsi a=b=2

J'espère que c'est juste

Bonjour,
Il ya des fautes d'innatentions à rectifier, je vais les prononcer selon l'ordre:
* La premiére faute, qu'il faut dire √∆ = a-b ou bien √∆ = b-a.
* La deuxiéme, c'est qu'on a déja ∆>=0, donc pourquoi ajouté ∆<0 ?
* La troisiéme error: vous avez trouver que a= ( (a^b )- a-b )/2, il faut dire plutot que a=( (a^b )- (a-b) )/2, ce qui rend toute la methode à réviser.
* La quatriéme, qu'il faut discuter Selon √∆ aussi dans les solutions.
* La cinquiéme, pourquoi faut t-il discuter des solutions de l'equation x² - (a^b)x + a^b= 0, non pas une autre?

Je vous invite à réviser et à réctifier, en vous souhaitant une bonne chance.

Ma Solutution proposé pour l'exercise:

On va discuter selon {a+b-ab=0}:
- Supposons que a=b, donc 2a-a²=0, implique que a=2=b.
- Supposons que a=/b, donc il existe un réel "c" tel que b=a-c.
* Donc a+a-c-a(a-c)=0, ce qui implique a²-a(2+c)+c=0, prenant ce résultat et discutant selon le réel c:
* ∆=(2+c)²-4c, donc a1=(2+c-V(c²+4))÷2, a2=(2+c+V(c²+4))÷2
* On sait que 2+c+V(c²+4)>=0, donc (2+c)²=c²+4, d'ou 4c>=0, c>=0 (1).
* Dans a1, remplaçant c par 0, donc a1=0. On sait que a+b=ab, donc 0+b=0, Et revenant à ab=a^b, 0^0 n'est pas défini, çe qui nous pousse à anuller a1 et laisser a2.
* D'aprés (1) on a c>=0, et trvaillant sur a2=(2+c+V(c²+4))÷2:
Si c=0: Donc a2=a=2.
Si c>0: On a poser b=a+c, c>0 implique que a>b donc remplaçant b par sa valeur dans a+b=ab, alors: a+(a-c)<ab ==> Absurde.
Il en résulte que a=2 est la seule solution, et remplaçant a par sa valeur, donc a+b=ab => 2+b=2b => b=2. D'ou a=b=2 est la seule solution.
Donc: S= {2,2}.

Merçi.

{}{}=l'infini a écrit:

M.Marjani a écrit:

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur lor=brown]alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de rôles que a £

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

Bonjour {}{}=l'infini ;
Il ya des passages sur les quelles tu dois les montré, j'attends que tu reprends.

salam ; pour le passage colorié a>e et g est strictement croissante

donc g(a) >g(e) c tout ...

pour l'aut passage colorié : on a f est strictement monotone en ]0;e] et en [e; +l'inf[ donc a et b ne peuvent pas appartenir à la m^me intervalle ... car toute fonction strict.monotone dans une intervalle est bijective ... n'est ce pas ?

Citation :

pour l'aut passage colorié : on a f est strictement monotone en ]0;e] et en [e; +l'inf[ donc a et b ne peuvent pas appartenir à la m^me intervalle ... car toute fonction strict.monotone dans une intervalle est bijective ... n'est ce pas ?

Desolé si j'était un peu curieux, le fait que je n'ai pas essayer de voir ces cours (comme l'IN et fog), mais si cette fonction est strictement croissante, ou bien strictement décroissante (Sur |R) on a rien à déduire n'est ce pas? Sinon comment déduire que f est continue pour déduire que f est bijective?

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

¤ il est très évident que a et b # 0 et 1 ¤
on va supposer premièrement que a et b > 0

on a : ab = a^b <==> b = a^(b-1) <==> b = a^(b/a)

<==> b^a = a^b <==> ln(a)/a = ln(b)/b

et si on a étudié la fonction f: x -> lnx/x on va trouvé que f(e) est sa valeur maximum .. et f est croissante sur ]0;e] et décroissant sur [e;+()() [

alors si a#b donc a et b n'appartiennt pas à la m^me intervallle ..
on suppose par symetrie de r^les que a £ [e;+l'infini [

donc ; puisque a^b - ab = 0 <==> a^b-1 - b = 0

et car la fonction g: x-> x^b-1 - b est strictement croissante car b>1

car on a (a-1)(b-1) = 1


==> a^b-1 - b = 0 > e^b-1 - b > 0

contradiction :



===> a= b ==> a=b=2.

le debut de la demonstration commence mal ; tu as utilise des choses que ne peuvent pas assumer qu'ils sont vrais.

Bonjour tout le monde.
Je vais être rapide cette fois-ci.
Merci M.Marjani pour votre message, vous aviez d'ailleurs raison en corrigeant mes fautes.
*Bon, tout d'abord, il fallait effectivement étudier le cas où b>a, c-a-d que √∆=b-a. Mais ce sera trop long et je pense inutile, parce que on va répéter la même chose que dans le cas inverse, où on ne fera qu'inverser les rôles.
*La deuxième chose => √∆<0, c'est clair que c'est une faute de frappe ou d'inattention, ou comme vous voulez...
Ce qu'il fallait écrire plutôt c'est:
- ∆>0 => 1er cas a=... et b=....
- ∆>0 => 2ème cas a=... et b=...
- ∆=0 => a=b
* 3ème faute: Cette faute m'a causé beaucoup de problème... ça aurait été plus simple :

=> 1er cas: ∆>0

Soit :

b= ( (a^b )- a+b )/2 et a= ( (a^b ) + a-b )/2
b= ( (a+b)- a+b)/2 et a= ( (a+b ) + a-b )/2
b=b et a=a

∆>0 => 2ème cas
Soit :

a= ( (a^b )- a+b )/2 et b= ( (a^b ) + a-b )/2
a= ( (a+b)- a+b)/2 et b= ( (a+b ) + a-b )/2
a= b et a=b
=> a=b=2

=> ∆=0
donc a=b=2
Voilà, c'est beaucoup mieux comme ça!

* La quatriéme, qu'il faut discuter Selon √∆ aussi dans les solutions.
Je n'ai pas bien compris ce que vous voulez dire.
Mais je pense que ce n'est pas la peine de discuter, puisque la solution est tirée du 3ème cas, où a=b, donc √∆=0.

* La cinquiéme, pourquoi faut t-il discuter des solutions de l'equation x² - (a^b)x + a^b= 0, non pas une autre?

Je ne vois pas pourquoi on chercherai à discuter des solutions d'une autre équation alors que celle-ce prouve que le système n'a qu'une seule solution: a=b=2...

Si on connait la somme et le produit de deux nombres, on peut déterminer ces derniers, puisque si ce système à des solutions, ce seront aussi celles de l'équation ....

Bonjour Najwa44,

Bien, t'as utilisé le fait de:

S = x+y
P = x.y
→ x et y sont les racines de X²-S.X+P = 0

soit :
♦ x = [S - √(S²-4P)]/2
♦ y = [S + √(S²-4P)]/2

S=P donc c'est fini. Trés bonne idée.

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Mais il vous reste toujours un probléme au cas ou ∆>0, vous avez trouvé a=a et b=b, donc?

Bonjour M.Marjani

Bon, pour répondre à ta question:
On a supposé que si ∆>0 et que b= ( (a^b )- a+b )/2 et a= ( (a^b ) + a-b )/2
On a trouvé que b=b et que a = a
autrement di, que: 0b=0 et que 0a=0
donc S=lR
Mais, si on prend a=0 et b=0, ça ne résoud pas le système.
=> contradiction
donc ce qu'on a supposé au début est faux.
b=/ ( (a^b )- a+b )/2 et a=/ ( (a^b ) + a-b )/2

Voilà, mais je ne suis pas sûre que mon raisonnement est juste.
J'attends vos réponses.
Merci!