merci bcp à tous , voilà je viens de trouver un lien dans le site vers une autre page ou ya demonstration !!
Démonstration
Soit P_n(x) = x^n + Sum( a_k * x^ k, de k = 0 à k = n-1) un polynôme de
degré n. Les a_k sont soit des réels soit des complexes. On cherche à
exprimer les racines de P_n en fonction des a_k. C'est ce que l'on
appelle une résolution par radicaux.
Notes:
- Les a_k peuvent être réels ou complexes. Les racines des nombres
négatifs ou complexes sont "admises"
- Je ne traite que les cas où les polynomes sont unitaire (leur
coefficient de plus haut degré est 1. Si ce n'est pas le cas il suffit
de diviser le polynôme par son coeficient de plus haut degré et
d'appliquer la méthode que je développe plus bas.
- J'utilise pour ces démonstrations les notations sqrt(x) et cur(x) qui
désignent respectivement la racine carrée et cubique de x.
- J'utilise la notation <> pour signifier "différent de".
1) Le polynôme est de degré n = 1.
On part de l'équation: x + b = 0.
La solution est bien évidement x = -b.
2) Le polynôme est de degré n = 2.
On part de l'équation: x^2 + a*x + b = 0.
Deux possibiltés se présentent: (i) a = 0 et (ii) a <> 0
(i) a = 0. L'équation s'écrit x^2 = -b
Les deux solutions sont donc: x1 = sqrt(-b) et x2 = - sqrt(-b)
(ii) a <> 0. L'équation s'ecrit x^2 + a * x + b = 0
Cette équation peut s'écrire:
x^2 + a*x + (1/4)* a^2 + b - (1/4)* a^2 = 0
Or l'on a :
(x + a/2)^2 = x^2 + a*x + (1/4)* a^2
Donc on peut écrire dans la première équation:
(x + a/2)^2 = ( a^2 - 4b ) /4
Ce qui revient au cas (i). Donc l'équation s'écrit:
x + a/2 = sqrt( (1/4)*a^2 - b ) ou x + a/2 = - sqrt( (1/4)*a^2 - b )
On en déduit les solutions de l'equation:
x1 = -a/2 + sqrt( (1/4)*a^2 - b ) et x2 = -a/2 - sqrt( (1/4)*a^2 - b )
3) Le polynôme est de degré n = 3.
On part de l'équation: x^3 + a*x^2 + b*x + c = 0.
On effectue un changement de variable x = z - a/3.
On obtient alors une équation du type : z^3 + p*z + q = 0
Avec: p = b - (1/3)*a^2 et
q = (2/27)*a^3 - (1/3)*a*b + c
Note:
Une fois que l'on a une solution z0 de l'équation en z, alors
x0 = z0 - a/3 est solution de l'équation en x.
Pour l'équation en z, deux cas sont possibles : (i) p = 0, (ii) p <> 0.
(i) p = 0. L'équation s'écrit donc z^3 = -q
Cette équation a trois solutions dans C:
z1 = cur(-q) (cur(x) est la racine cubique de x)
z2 = j * z1
z3 = (j^2) * z1.
Où j = ( -1 + i*sqrt(3) )/2
(ii) p <> 0. L'équation est z^3 + p*z + q = 0.
On effectue un autre changement de variable z = u + v. Avec u non-nul.
Et l'équation s'écrit:
u^3 + v^3 + q + (3*u*v + p)*(u + v) = 0
on s'intéresse alors au système suivant:
{ u^3 + v^3 + q = 0 [S]
{ 3*u*v + p = 0
Note:
si (u0, v0) est solution du sytème [S], on remarque que z0 = u0 + v0 est
solution de l'équation 3.
Le système [S] est équivalent à:
{ u^6 + q* u^3 - (1/27)*p^3 = 0
{ v = - p /(3u)
Encore (!) un changement de variable dans la première équation.
On pose y = u^3, et celle-ci devient: y^2 + q*y -(1/27)*p^3.
De là, une solution est donc:
y = -q/2 + sqrt( (1/2)*q^2 +(1/27)*p^3 )
Donc, il ne reste plus qu'à trouver les solutions de u^3 = y. C'est le
cas (i). On a donc comme solutions:
u1 = cur(y). et v1 = -p / (3*u1)
u2 = j * u1. et v2 = j * v2
u3 = (j^2) * u1 et v3 = (j^2) * v3
De là, on a z1 = u1 + v1, z2 = u2 + v2 et z3 = u3 + v3. Ce qui nous
donne les solutions pour x...
4) Le polynôme est de degré n = 4
On part de l'équation x^4 + a * x^3 + b * x^2 + c * x + d = 0.
On effectue le changement de variable x = z - a/4.
On obtient une équation réduite de la forme:
z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0
Avec p = b - (3/
*a^2 ;
q = c - a*b/2 + (1/
*a^3 et
r = d - a*c/4 + (1/16)*b*a^2 - (3/256)*a^4
On a deux cas pour l'équation en z: (i) q = 0 et (ii) q <>0.
(i) q = 0. L'équation s'écrit z^4 + p * z^2 + r = 0.
C'est ce que l'on appelle une équation bicarrée.
On pose y = z^2 et l'equation devient y^2 + p * y + r = 0
Les solutions sont donc:
y1 = -p/2 + sqrt( (1/4)*p^2 - r) et y2 = -p/2 - sqrt( (1/4)*p^2 - r)
De là les valeurs de z sont:
z1 = sqrt(y1) ; z2 = - sqrt(y1) ; z3 = sqrt(y2) et z4 = -sqrt(y2).
(ii) q <> 0. L'équation s'écrit z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0
On pose alors 2*P - Q^2 = p ; -2*Q*R = q et P^2 - R^2 = r.
On a alors (z^2 + P)^2 - (Qz +R)^2 = 0. Ce qui est une autre façon
d'écrire z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0.
Si l'on arrive à determiner le triplet (P0, Q0, R0) alors trouver les
solutions de l'équation réduite revient à résoudre:
z^2 + P0 + Q0 * z + R0 = 0 ou
z^2 + P0 - Q0 * z - R0 = 0
On peut donc trouver z.
Il reste donc à determiner P, Q et R. C'est à dire à résoudre le système
{ 2*P - Q^2 = p
{ -2*Q*R = q [S]
{ P^2 - R^2 = r
Ce système revient à:
{ Q^2 = q^2 / (4*P^2 - r)
{ R^2 = P^2 - r
{ Q*R = -q / 2
Ce qui revient à résoudre l'équation (en P) suivante:
p^3 - (p/2)*P^2 - r*P + p*r/2 - (1/
*q^2 = 0
De là, on trouve (pas si) facilement P0. Et grâce au système [S] on peut
lui associer un couple (Q0, R0) et donc trouver z... (ouf !)
5) Le polynôme est de degré n > 4.
Au XIXè siècle, Abel a montré que la résolution par radicaux de
l'équation du cinquième degré était impossible dans le cas général.
Indépendamment, Galois a généralisé cette démonstration à l'ensemble
des cas où n est supérieur ou égal à 5.merci encore
euh mais en effet c'est seulement pour la methode des radicaux , o fait peut t on generaliser
Accueil 
