Formule de Leibniz

Soit V un voisinage de 0 dans IR, f une fonction de (n+1)ème classe sur V telle que : pour p £[|0,n+1|], la pème dérivée de f en 0 est nulle.
On considère la fonction φ définie par φ(x) = f(x)/x si x # 0 et φ(0) = 0.
. Pour tout x de V\{0}, pour tout p £ [|0,n|], expliciter la dérivée pème de φ par la formule de Leibniz.
. En déduire la limite en 0 des dérivées pèmes de φ.
. Établir que φ est de nème classe sur V.

En attente de vos idées, merci d'avance.

bonjour.
Soit p £ [|0,n|] on a :


Or les dérivées de f sont nulles pour tout p £ [|0,n|] et pour tout x de V\{0}. Donc il en ai de même pour φ.

Toutes les dérivées de V étant nulles , Il ne reste qu'a prouvé la continuité de la dérivée nème de φ qui est vraie car f est de dérivée (n+1)ème nulle. (sauf erreur)

C'est la fonction prolongement de f (en une fonction de classe C^{n}).

Othmaann a écrit:

Or les dérivées de f sont nulles pour tout p £ [|0,n|] et pour tout x de V\{0}. Donc il en ai de même pour φ.

Les dérivées de f ne sont nulles qu'en 0.
Merci pour votre tentative en tout cas.
J'espère d'autres interventions.

f est de classe C^{n} donc ses dérivées sont continues et donc sont nulles meme au voisinage de 0 , non ?

Un voisinage d'un point est tout simplement un intervalle ouvert de la forme ]-η+a,η+a[.
Je ne vois pas pourquoi une fonction continue aura nécessairement une valeur constante sur tout voisinage de a.
Rappel de la définition de la continuité : une fonction f est continue en a si et seulement si il existe un voisinage de a tel que l'image réciproque de tout voisinage de f(a) est un voisinage de a.
Merci.

d'un point de vue de formalité tu as raison.
Je reste tout de même persuadé que les dérivées pème de f sont nulles "au voisinage" de 0 ...
Je vais réessayer de voir l'exo et désolé