Critère de Cauchy (aide)

(La preuve du 2eme sens) J'arrive pas a prouver la 3eme question ( c'est tellement clair que c'est bizare , je dis par là qu'il suffit de prendre U_q = U_N et donc par definition de la limite dune suite (Un) converge vers U_N)
Je vous prie de me remetre sur la bonne voie si je me trompe
Amicalement .

Personne ?

-Je pense- que c'est le fait que (Un) soit bornée qui donne le résultat. (après un simple encadrement)
Car si tu fixes le N , tu fixes aussi epsilon ...

est ce que tu peu expliciter ta reponse s'il te plait ?

xD des fois je dis du nimporte koi, excuse xD

On suppose que (Un) vérifie le critère de Cauchy càd:


D'après la question 2 , on a (Un) bornée càd:

J'ai pris mes précautions , comme j'ai pas fait la question 2 , je ne sais pas si elle est bornée à partir d'un certain rang ou bien bornée tout court.

Soit epsilon > 0. p,q > N
on a
et donc comme -M < u_q < M alors

Ce qui est suffisant pour dire que (Un) est convergente mais pas assez pour trouver sa limite

BSR à Vous Toutes et Tous !!

Medoxyk a écrit:

Personne ?

Si , il y a toujours quelqu'un .... Il suffit de patienter !
Pour le sens le plus dur , je te donne l'OSSATURE de la Démo qui n'est pas si simple ....

Soit donc une suite (un)n de réels supposée de CAUCHY .

1) Tu as déjà prouvé que (un)n est BORNEE de la manière suivante :
tu choisis eps =1 dans la Définition ( Propriété de CAUCHY ) d'ou le N1 tel que etc .....
ensuite tu choisira p >=N1 et q=N1 |up|<=|up-u(N1)|+|u(N1)| <=1+|u(N1)|
Si tu poses M=MAX{|u0|,|u1|,........,|u(N1-1)|;1+|u(N1)|} alors |un|<=M pour tout n .

2) La suite (un)n étant BORNEE alors d'après le Lemme de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous-suite CONVERGENTE vers ( notons la ) L .

3) On montre que L est la seule valeur d'adhérence de la suite (un)n .

4) On conclut que la suite (un)n CONVERGE vers L .

C'est assez LABORIEUX et celà utilise un autre LEMME celui de B-W ....

Amicalement . LHASSANE

Othmaann a écrit:

On suppose que (Un) ...............alors

Ce qui est suffisant pour dire que (Un) est convergente mais pas assez pour trouver sa limite

BSR Othmaann !!

Je ne suis pas d'accord avec Toi !!
Tu commets une faute assez douloureuse ....
Une suite BORNEE n'est pas toujours convergente .. Prends tout simplement la suite traditionnelle (vn)n
avec vn=(-1)^n pour chaque entier n .
Elle est encadrée par -1 et 1 MAIS elle DIVERGE .

Amicalement . LHASSANE

bonjour Mr LHASSAN
Cette proposition :
n'affirme pas seulement que (Un) est bornée , je me suis arrêté en chemin car j'ai vu que Medoxyk avait posté qu'il avait trouvé mais voila ce que j'avais l'intention de faire ...

Est ce que c'est bon comme ça ??
Merci pour votre intérêt !!

Désolé j'ai pas pu me conncter plutot =S
Je pense que la methode de Mr Lhassan est la bonne, quoi ke longue vu kaparement elle é la seule .
Pour mr othmaann je crois ke la derniere affirmation est la meme ke celle ki la precede =)
Cependant un grand merc a vous de votre interet =)
Amicalement =)