techniques olympiade:2

slt a tout le monde
pour namoussa
bien vue
pour oumzil
pr l'exo se trouve pas
j'ai pas vu

oui cherif119 merci pour avoir pensé à chercher des exercice

a part oumzil, les autres n ont pas compris cette deuxième technique, c vraiment dommage !

je préfère que les solutions soient postées ici, comme ça tout le monde peut y profiter. Cette partie n est pas une compétition mais c juste un cours, l interêt est que tout le monde comprenne.

je viens d ajouter un nouveau exo dans cette section

pour mieux comprendre la technique 2 : voila un lien
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./a/arithmeticogeoineg.html

Salut ,
Pour le 8 :

bien vu oumzil

salut
voici mes réponses aux exercices de bel_jad.

en utilisant l'inigalité de la moyenne on a:
1) x>0
x+1/x>=2(x*1/x)^(1/2) ===> x+1/x>=2*1^(1/2)
===> x+1/x>=2

2) a>0 b>0
a/b+b/a>=2*((a/b)*(b/a))^(1/2) ===>a/b+b/a>=2*1^(1/2)
===>a/b+b/a>=2

3) a,b,c >0
a+b+c>=3*(abc)^(1/3)
et puisque abc=1 on a:
a+b+c>=3*1^(1/3)
===>a+b+c>=3

4) on a d'après question 2:
a/b+b/a>=2 (1) (a>0 b>0)
si on remplace a par a² et par a^3
et b par b² et par b^3
on aboutit à : a²/b²+b²/a²>=2 (2)
et à a^3/b^3 +b^3/b^3>=2 (3)
de(1) et (2) et (3) conclusion
a/b+b/a+a^3/b^3+b^3/a^3+a²/b²+b²/a>=2+2+2
===>a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6


5) a²+b²+c²+d²>=4*(abcd)²^(1/4) (a,b,c et d sont des réels positifs.)
===> a²+b²+c²+d²>=4*(1)²^(1/4) parce que abcd=1
===> a²+b²+c²+d²>=4
on a:
ab+cd>=2*(abcd)^(1/2)===>ab+cd>=2*1^(1/2)
===>ab+cd>=2
de la meme façon on obtient
bc+ad>=2
ac+bd>=2
donc en faisant l'addition de tout ça on obtient:
a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10

6) a1,a2,a3,...,an >0
a1+a2+a3+....+an>=n*(a1*a2*a3*....*an)^(1/n) (1)
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an>=n*1/(a1*a2*a3*....*an)^(1/n) (2)
en multipliant (1) par (2) on obtient:
(a1+a2+..+an)(1/a1+1/a2+..+1/an)>=n²*((a1*a2*..*an)/(a1*a2*..*an))^(1/2n)
===>(a1+a2+..+an)(1/a1+1/a2+..+1/an))>=n²*1^(1/2n)
===>(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n²

7) exercice démontré par oumzil

montrer que pour tout n de N, on a :
(n+1)/2 >=(n!)^(1/n)
NB: n!=1*2*3*...*n

on a 1+2+3+...+n>=n*(1*2*3*...*n)^(1/n)
===> 1+2+3+...+n>=n*(n!)^(1/n)
et on sait que 1+2+3+....+n=n*(n+1)/2
donc n*(n+1)/2>=n*(n!)^(1/2)
===>n+1)/2 >=(n!)^(1/n)
merci beaucoup bel_jad bour ces thechniques d'olympiades
mais je voulais bien que tu me me démontres cette inigalité de la moyenne

oups j'ai pa vu la page 2 et 3
je devais pa répondre parce que les autres ont déja répondu
en tout cas j'ai bénificié du cours de bel_jad5 et je le remercie.
tout ce que je demende c la démonstration de l'inigalité de la moyenne et merci.

rim hariss a écrit:

je devais pa répondre parce que les autres ont déja répondu

rim hariss même si tout le monde a répondu et que t'as les mêmes reponses tu peux toujours les poster et non pas rester bouchbé c'est pour voir si la technique est bien comprise que bel_jad5 donne ces exercices .
PS:
pour la correction attend bel_jad5

oui je crois que t'as raison. merci

salut rim hariss: tout ce que t as fait est correct, ya juste quelques remarques à faire:
-Pour l exo 4 et 5 : tu peux appliquer l inégalité de la moyenne directement sans faire toute la démonstration ( essaye de voir la solution de oumzil)

-Pour l exo 6 : ya juste une petite erreur :
tu as ecrit: (a1+a2+..+an)(1/a1+1/a2+..+1/an)>=n²*((a1*a2*..*an)/(a1*a2*..*an))^(1/2n)

ce qui vrai c est :
(a1+a2+..+an)(1/a1+1/a2+..+1/an)>=n²*((a1*a2*..*an)/(a1*a2*..*an))^(1/n)

pour la démonstration:
on va le faire par récuurence:
-pour n=1 : le résultat est vrai
-supposans que le résultat est vrai jusqu au rang n
on pose a=x1+x2+..+xn et b=x1x2...xn ( somme et produit)
on veut démontrer le résultat pour n+1
considèrer la fonction f(x)=x+a-(n+1)(xb)^(1/(n+1))
dériver la, vous aller trouver qu elle a un minumum en b^(1/n)
f(b^1/n)=b^(1/n)+a-(n+1)(b^1/n*b)^(1/(n+1))
= a-nb^(1/n)>=0 ( l hypothèse de récuurence )
d ou le résultat

NB: ya une démonstration en 2 lignes, je vais la poster après, lorsque on va faire une inégalité plus puissante

voila, tu peux poster tes solutions, ya aucun problème !

slt a tout le monde
voila un petit EXO
a,bet c >0 ona a/b+b/c+c/a>3

Pour cherif119 : il est pas mal ton exo

je viens d ajouter un nouveau exo

Pour la question 9 :


pour cherif :
pour a=b=c on a : a/b+b/c+c/a = 3

donc : la question c'est : a/b+b/c+c/a >= 3

bien vu oumzil : je vois que tu as bien maitraisé la technique.

je vais ajouter un dernier exo, il est un peu difficile par rapport aux autres, après on va passer a une autre technique!

slt a tout le monde
pour oumzil
c tres bien
tu as saisis les techniques
je te propose de la faire d'une autre methode hihi
remarque que (a+b+c)^3>=27abc puis conclus

salut ,
pour le 10) :

salut tout le monde
désolé pour le retard, javais pas mal de choses a faire cette semaine,c pour ça que j étais absent
pour oumzil : elle est magnifique ta démonstration, apparement tu as bien compris la technique...

je vais essayer de poster une autre technique dés que j ai le temps !

voila !

salut ,
merci bel_jad5 en effet je vois bien qu'il trés difficile d'être toujours là
surtout quand on a plein d'autre trucs qui tombe sur nous comme de la pluit .
merci pour tes effort bel_jad5

merci beaucoup bel-jad8)

tré interessent

Bonsoir
je trouve que cette section est très intéressante
mé dommage je px pas imaginer qu'un sujet aussi important s'arrête ça fait presque 3 ans !!!!!!!!
j'aime bien que ça renaitrera avec d'autres techniques
merci bien ^^