- YASS1NE a écrit:
- .....
2-Résoudre sur IR le système suivant:
(1) rac(x+1) - rac(x-1) = z
tel que z est un paramètre réel strictement positif .
BJR YASS1NE !!
Il faut bien noter que lorsque x est dans Df=[1;+oo[ on a x+1>x-1>0 donc
f(x)=rac(x+1)-rac(x-1)>0 donc le paramètre z est dans IR+* si vous voulez
trouver une ou plusieurs solutions de l'équation (1) ....
Et puis comment résoudre cette équation ???
On raisonnera par Condition Nécessaire , on élève AU CARRE pour obtenir
z^2=2.x-2.rac(x^2-1)
soit 2x-z^2=2.rac(x^2-1)
On élève de nouveau au CARRE pour obtenir
4.x^2 + z^4 -4.x.z^2=4.(x^2-1)
soit z^4 -4.x.z^2+4=0
d'ou x=(1/4).{z^2 +(2/z)^2}
On a donc exprimé x en fonction de z
MAIS il faudrait s'assurer que le x trouvé est bien SUPERIEUR à 1 c'est à dire x est dans Df ???
Pour celà on est amené à résoudre l'INEGALITE {z^2 +(2/z)^2} >=4
Or {z^2 +(2/z)^2}=(z + (2/z))^2 -4
donc l'écriture {z^2 +(2/z)^2} >=4 est EQUIVALENTE à {z +(2/z)}^2 >=8
qui est équivalente aussi ( puisque z est dans IR+* ) à z+(2/z) >=2.rac(2)
Cette inégalité est TOUJOURS VRAIE .....
Il ne faut OUBLIER NON PLUS que l'on doit avoir rac(x+1) - rac(x-1) = z !!!!!!
x+1=(1/4).{z^2 +(2/z)^2 + 4}=(1/4).(z+(2/z))^2
x-1 = ........................................=(1/4).(z-(2/z))^2
rac(x+1)=(1/2).(z+(2/z)) car z+(2/z) >0
rac(x-1)=(1/2).|z-(2/z)|
On devrait avoir (1/2).{(z+(2/z)) - |z-(2/z)|} =z
soit z+(2/z) - |z-(2/z)|=2.z d'ou |z-(2/z)|=(2/z)-z
CE QUI EST REALISE lorsque z<=(2/z) d'ou en conclusion 0<z<=rac(2)
RECAPITULATION : Pour tout z dans ]0;rac(2]
l'équation f(x)=z a une UNIQUE SOLUTION donnée par la formule x=(1/4).{z^2 +(2/z)^2}
et celà te prépare SINON te résoud COMPLETEMENT la Question 3)
Amicalement. LHASSANE
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