URGENT DEVOIR !

f(x)=Vx+1 - Vx-1


1-déterminez Df
2-Résoudre sur IR le système suivant:
Vx+1 - Vx-1 = z
Vx+1 + Vx-1=2/z

tel que z est un paramètre réel non nul

3) démontrez que f est bijective sur l'intervalle I=[1,+oo[ jusqu'a l'intervalle J qu'il faut préciser et déterminez
la bijection réciproque

Merci de me présenter une solution sans l'utilisation de limites.

salam:

Df=[1;+00[.

Vx+1 - Vx-1 = z (1)
Vx+1 + Vx-1=2/z (2)

(1)+(2)=>2v(x+1)=z+2/z , z£IR+ => v(x+1)=1/2(z+2/z) =>x+1=1/4(z+2/z)^2 => x=1/4(z+2/z)^2 - 1 , z£IR*+;

(2)-(1) => -2v(x-1)=2/z-z =>v(x-1)=-1/2(2/z-z)

discussion de z pour que le système admet un solution:

-1/2(2/z-z) >0 => 2/z-z<0 <=>(2-z^2)/z<0 =>(2-z^2)<0 et z>0 ou (2-z^2)>0 et z<0 =>....=>z<v2 ou z<0 donc z£]0,v2[
dons ce cas on a x-1=1/4(2/z-z)^2 =>x=1/4(2/z-z)^2+1 ou z£]0,v2[

tanmirt

salam:
indications:
pour la bijection: montre que f est injective et surjective;

la bijection réciproque:

pose y=f(x) => y=Vx+1 - Vx-1=(Vx+1 - Vx-1)(Vx+1 + Vx-1)/(Vx+1 + Vx-1)=(x+1)-(x-

1)/(Vx+1 + Vx-1)=2/(Vx+1 + Vx-1)=>y=2/(Vx+1 + Vx-1) <=>(Vx+1 + Vx-1) =2/y

d'après la 2) y=g(x) (y=z dans 2)

f^-(x)=g(x)=la solution de l'équation.

tanmirt