Besoin d'aide merci :D! [Pour demain, de bon matin]

Exercice:
U(0)=3/2
U_(n+1)= (Un+1)/Un
1) Montrez que 3/2<= Un <=2
2) Démontre que f accepte un seul point fixe "L" sur un intervalle I que vous devez déterminer.
3) Démonter que |U_(n+1) - L|<= 4/9 |Un-L|



Pour la première question, c'est fait!
La seconde si Un point fixe L est la solution de f(x)=x c'est fait! (Je nn'étais pas sûr)
La dernière, bah, j'attends que ma seconde réponse soit confirmée pour me lancer!
Et merci!

BSR Schrödinger !!!

Si tu considère l'application f suivante :
x ----------> f(x)=(x+1)/x
de IR* à valeurs dans IR ; il s'agit d'une Fonction Homographique
La suite que tu proposes est récurrente , vérifie :
U0=3/2) donné et la relation U(n+1)=f(Un) pour n entier quelconque .

Il suffira de restreindre f au segment I=[1;2]
On aura f applique I dans I de manière continue , décroissante stricte et possède dans I un point fixe L
qui vaut {1+rac(5)}/2 par calcul ( Résolution dans I de l'équation f(x)=x )

Maintenant ... Tu peux y aller tout seul !!

Amicalement . LHASSANE

Ouais, j'avais bien fait!
Mais sinon, pour la dernière question, je tourne toujours en rond ;D
Merci de m'éclairer. (Je sais je parais fainéant mais je ne le suis pas, j'ai terriblement mal à la tête!)

Schrödinger a écrit:

Ouais, j'avais bien fait!
Mais sinon, pour la dernière question, je tourne toujours en rond ;D
Merci de m'éclairer. (Je sais je parais fainéant mais je ne le suis pas, j'ai terriblement mal à la tête!)

Juste un P'Tit Coup d'Pouce !!!

Tu écris U(n+1) - L sous la forme f(Un)-f(L)
Puis tu penseras au TAF appliqué à f sur I ..... et aussi à une Majoration de |f'(.)| sur I ....

Amicalement . LHASSANE

Ah, comme ça j'aurais la dérivée? :p
Et ainsi elle devrait être inférieure ou égale à 4/2 ?!

Schrödinger a écrit:

Ah, comme ça j'aurais la dérivée? :p
Et ainsi elle devrait être inférieure ou égale à 4/2 ?!

Pas tout à fait !!
Tu vas appliquer le TAF à f sur l'intervalle d'extrêmités Un et L
Sachant que (3/2)<=Un<=2 pour chaque n alors
Tu chercheras donc à majorer |f'(.)| sur [3/2;2] suffira ( qui est inclus dans I ) par 4/9 ...

Amicalement . LHASSANE

Et si je vous dit que depuis, le début, je lisais TAF (TVI)! Pff, je devrais aller me coucher!

Schrödinger a écrit:

Et si je vous dit que depuis, le début, je lisais TAF (TVI)! Pff, je devrais aller me coucher!

Comme Je Te comprends Saad !!
Tu as bien dit quelque part : << Je suis élève de la Terminale PC ... >>
Et DSL de t'avoir "assommé" avec le TAF ... C'est la seule issue pourtant !!!


Allé Babay !! LHASSANE

J'ai déjà utilisé le TAF, mais bon, vu que je suis en Terminale PC, c'est pas dans le programme.
Finalement, j'ai trouvé mais le prof m'avais bien dit de recommencer et de trouver une manière qui pourrait coller avec notre programme
Merci de l'aide, et là, je devrais me casser la tête un petit peu
Mais bon, en forme aujourd'hui

Bonsoir Schrodinger ,

tu peux te passer du TAF en procédant comme suit :

U(n+1) - L = U(n+1) - f(L) = (1+Un) / Un - (1+L) / L = (L - Un) / L.Un

Donc l U(n+1) - L l = l Un - L l / L.Un

Or 3/2 =< Un et 3/2 =< L , donc 9/4 =< L.Un , par suite 1/ L.Un =< 4/9

D'ou` l U(n+1) - L l =< 4/9.l Un - L l

L= f(L) ?

Rebonsoir Schrodinger ,

oui , L=f(L) car L est un point fixe de f ( voir deuxième question ) .

Ah, Ouais, j'ai complétement zappé merci.

haiki55 a écrit:

Bonsoir Schrodinger ,

tu peux te passer du TAF en procédant comme suit : .....

Merci haiki55 , c'est EXACT en effet et du niveau des Terminales PC ....
Cependant en prenant la valeur EXACTE de L qui est (rac(5)+1)/2 , on obtient une
MEILLEURE INEGALITE
|U(n+1)-L|<=(4/{3(rac(5)+1)}).|Un-L| pour tout n .

Ce qui affecte notablement la Vitesse de Convergence de la suite (Un)n vers L .

@ Schrödinger : Oui c'est celà !!

LHASSANE

De rien Shrodinger et Bison_Futé

Je dirais merci encore une fois !
@LHASSANE: je dis que t'es un excellent prof, si ce n'est pas le cas, tu devrais le faire
@Haiki55 Merci encore une fois. (Pas la peine de répondre :p)