Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:

Notre professeur nous a proposé le test suivant, qui est proche à un olympiade:
Exercice 1:
Soit a et b deux réels strictements positifs, tel que a+b=6.
Démontrez que .
Exercice 2:
x, y, z, et t sont des réels strictement positifs, tel que et .
Démotrez que .
Exercice 3:
On considère un point P à l'intérieure d'un triangle équilatéral ABC.
Soit E, F, et G les projections orthogonales de P sur les côtés [AB], [BC], et [CA] respectivement.
Calculez AB sachant que PE=1, PF=2, et PG=3.
Exercice 4:
ABC est un triangle, L est un point de [AB] et N un point de [CA].
Les deux droites (CL) et (BN) se coupent en un point M.
Supposons que les surfaces des triangles LBM, BCM, et MNC respectivement sont 5, 10, et 8.
Calculez la surface du quadrilatère ALMN.

salut!
ben pour l'exercice 1 je pense que:
(a+1/b)²+(b+1/a)²=(ab+1)²(1/a²+1/b²)=(1+1/ab)²(a²+b²)=(1+1/ab)²(36-2ab)
on sait que (a+b)²>=4ab alors ab<=9
ca veut dire 36-2ab>=18 et (1+1/ab)²>=(10/9)²=100/81
alors(36-2ab)(1+1/ab)²>=200/9
sauf erreur et merci

Bonsoir !
Le premier exercice ressemble à celui là https://mathsmaroc.jeun.fr/t17170p225-preparations-aux-olympiades-de-tronc-commun-2010-2011#147013 et qui est faisable par cauchy-schwartz

Désolé pour le double-post !
Le deuxième est lui aussi une application directe de Cauchy-Schwartz , et je crois que vous avez le droit de l'utiliser tant qu'elle est introduite dans la leçon du produit scalaire.

on a 2(x²+y²)<=2 et2(x²+y²)>=(x+y)² alors x+y<=V2 de meme on obtient z+t<=2V2
alors (x+y)(z+t)<=4 ca veut dire (xz+yt)+(xt+yz)<=4 et puisque (xz,yt) et (xt,yz) jouent des roles reciproques
on obtient ainsi 2(xz+yt)<=4 alors xz+yt<=2 . CQFD
sauf erreur
et merci

yasserito a écrit:

salut!
ben pour l'exercice 1 je pense que:
(a+1/b)²+(b+1/a)²=(ab+1)²(1/a²+1/b²)=(1+1/ab)²(a²+b²)=(1+1/ab)²(36-2ab)
on sait que (a+b)²>=4ab alors ab<=9
ca veut dire 36-2ab>=18 et (1+1/ab)²>=(10/9)²=100/81
alors(36-2ab)(1+1/ab)²>=200/9
sauf erreur et merci

C'est juste.
Je n'ai rien à dire.

yasserito a écrit:

on a 2(x²+y²)<=2 et2(x²+y²)>=(x+y)² alors x+y<=V2 de meme on obtient z+t<=2V2
alors (x+y)(z+t)<=4 ca veut dire (xz+yt)+(xt+yz)<=4 et puisque (xz,yt) et (xt,yz) jouent des roles reciproques
on obtient ainsi 2(xz+yt)<=4 alors xz+yt<=2 . CQFD
sauf erreur
et merci

Ce qui est en rouge n'est plus une démonstration.
Essaie avec l'inégalité de Caushy Schwartz.

En effet, le test est à la portée, sauf que le professeur, à ce que je pense, doit préparer un test en se basant sur les cours faites cette année.
Cependant, c'est une bonne initiative.
Pour moi, les trois premiers exercices sont très faciles, plutôt classiques.
J'attends vos réponses, surtout pour le dernier que je n'ai pas réussi à résoudre.

(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.

yasserito a écrit:

(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.

J'ai dit que t'as le droit , mais à condition que tu choisisses les vecteurs convenablement et appliquer C.S avec sa forme géométrique comme présentée dans la leçon du produit scalaire !

Pour le troisieme je crois que la solution est :(on prend a la longueur du cote)
Sabc=Sapb+Sapc+Sbpc=a*pe/2+a*pf/2+a*pg/2=3a
alors: 1/2*a²sin(60)=3a
alors: a=6/sin(60)=4V3
sauf erreur et merci

ah oui le dernier exercice parait vrm difficile. vous etes sur que vous avez ecrits tous les donnees?

Pour le deuxiéme c'est façile méme sans Cauchy Shwartz:

x²+y²=<1 ET z²+t²=<4 => (x²+y²)(z²+t²)=<4 => (xz)²+(yt)²+(xt)²+(yz)²=<4
Or (xt)²+(yz)²>=2xyzt donc (xz)²+(yt)²+2xyzt=<(xz)²+(yt)²+(xt)²+(yz)²=<4
D'ou (xz+yt)²=<4 <=> xz+yt=<2 (Car x,y,z,t >0).

Je vois que les trois exos sont bien des cadeaux :p

Pour notre examen, il est trop chargé avec de façiles questions qui m'ont vraiment perdu du temps (confusion total).

yasserito a écrit:

Pour le troisieme je crois que la solution est :(on prend a la longueur du cote)
Sabc=Sapb+Sapc+Sbpc=a*pe/2+a*pf/2+a*pg/2=3a
alors: 1/2*a²sin(60)=3a
alors: a=6/sin(60)=4V3
sauf erreur et merci

C'est correct.
Personnellement, j'ai utilisé la formule de Héron.

yasserito a écrit:

ah oui le dernier exercice parait vrm difficile. vous etes sur que vous avez ecrits tous les donnees?

C'est ça ce que je crois, je n'ai trouvé que S(LMN)=4, pendant 90 minutes de réflexion!

salam

pour exo2
_______________

M(x,y) € quart de disque de rayon 1
N(z,t) € quart de disque de rayon 2.
__________________

x < cos a et y < sin a (au sens large)

z < 2. cos b et t < 2.sin b

___________

x.z + yt < 2(cosa.cosb +sina.sinb) = 2cos(a-b) < 2

_________________________________

Le dernier exercice est correct
j'ai trouvé que S(ALMN)=22
SOlution:

Spoiler:

Sporovitch a écrit:

Le dernier exercice est correct
j'ai trouvé que S(ALMN)=22
SOlution:

Spoiler:

Aucune faute, sauf celle d'inattention à la première ligne où tu as écris sin au lieu de S.
Autre que cela, exellent travail, bravo et merci.

yasserito a écrit:

(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.

salam
je voulais juste vous poser une petite question:
est-ce qu'on peut appliquer l'inégalité de caushy shwartz ou une autre dans un concours comme celui là ??sans même la démontrer??
merci de me répondre ,car demain insha'ALLAH je vais passer un concours de maths...

ah ben moi a ce que j'ai entendu recemment que tu dois la prouver avant,mais c'est juste une personne qui me la dit .rassure toi svp de ca et desole...

yumi a écrit:

salam
je voulais juste vous poser une petite question:
est-ce qu'on peut appliquer l'inégalité de caushy shwartz ou une autre dans un concours comme celui là ??sans même la démontrer??
merci de me répondre ,car demain insha'ALLAH je vais passer un concours de maths...

Certes, dans ce concours également, tu dois prouver ce que tu veux utiliser.
Je vois aussi que la démonstration d'une telle inégalité est facile, et ne demande pas beaucoup de temps.

d'accord merci nmo.
voilà on a passé le concours,mais je n'ai utilisé l'inégalité de caushy shwartz dans aucun exercice...

mais dans les olympiads nmo doit on les prouver?

yasserito a écrit:

mais dans les olympiads nmo doit on les prouver?

Je pense que non.
J'ai reçu la solution des deux tests récemment passés.
Dans le premier, ils ont accepté l'inégalité arithmético-géométrique sans preuve.