Trouver

Trouver toutes les fonctions f dérivables de R vers R tel que f(x+f(y))=f(y+f(x))?
et si c'est possible quel est l'astuce pour resoudre ce type d' exercices?

f(x+f(y))=f(y+f(x)) donc f(x+f(y))=f '(x)f(y+f(x)) de meme f(y+f(x))=f '(y)f(x+f(y)) donc pr tt x,y £ IR f '(x)=f '(y) d'où f est Cte=a donc f(x)=ax+b pr tt x,y £ IR ..

. a écrit:

f(x+f(y))=f(y+f(x)) donc f(x+f(y))=f '(x)f(y+f(x)) de meme f(y+f(x))=f '(y)f(x+f(y)) donc pr tt x,y £ IR f '(x)=f '(y) d'où f est Cte=a donc f(x)=ax+b pr tt x,y £ IR ..

... Et en revenant à l'équation de départ, on trouve : a(x+ay+b)+b = a(y+ax+b)+b
Donc pour tout x,y de IR : (1-a)(x-y)=0, donc a=1.
D'où les solution S={x|-->x+b , b € IR}

. a écrit:

f(x+f(y))=f(y+f(x)) donc f(x+f(y))=f '(x)f(y+f(x)) de meme f(y+f(x))=f '(y)f(x+f(y)) donc pr tt x,y £ IR f '(x)=f '(y) d'où f est Cte=a donc f(x)=ax+b pr tt x,y £ IR ..

Non la dérivée de la composée est (fog)'=g'. f'og

Donc
en dérivant % à x : qqs x,y ds IR, f'(x+f(y))=f'(x) f'(y+f(x)) (*)

S'il existe un c : f'(c)=0 alors qqs x, f'(c+f(x))=0 ( en prend x=c et y=x dans (*))
==> qqs x, f'(x)f'(c+f(x))=0 ==> qqs x, f(c+f(x))=k où k un réel
mais f(x+f(c))=f(c+f(x))=k alors f=k constante.

Maintenent si f' ne s'annule pas

qqs x, f'(x+f(x))=f'(x)f'(x+f(x)) ( en prend y=x dans (*))
==> qqs x, f'(x)=1
==> qqs x, f(x)= x+b avec b €IR

Donc les solutions sont : x---> ax+b avec a€{0,1} et b €IR

salam

Excusez moi ,mais ...est-ce que la réponse de Maître est correcte ????

f(x+f(y)) = f '(x). f (y+f(x))......???????????????????????????

________________________________

pour y fixé

si tu dérives en x =========>[ f(x+f(y)) ]' = [f(y+f(x))]'

=====> 1.f '(x+f(y)) = f '(x).f '(y+f(x))

====> pour x=y : f '(y+f(y)) = f '(y).f '(y+f(y))

si f'(t) non nul pour tout t ====> f '(y) = 1 ====> f(y) = y+k

oussama1305 a écrit:

. a écrit:

f(x+f(y))=f(y+f(x)) donc f(x+f(y))=f '(x)f(y+f(x)) de meme f(y+f(x))=f '(y)f(x+f(y)) donc pr tt x,y £ IR f '(x)=f '(y) d'où f est Cte=a donc f(x)=ax+b pr tt x,y £ IR ..

... Et en revenant à l'équation de départ, on trouve : a(x+ay+b)+b = a(y+ax+b)+b
Donc pour tout x,y de IR : (1-a)(x-y)=0, donc a=1.
D'où les solution S={x|-->x+b , b € IR}

exact !

. a écrit:

oussama1305 a écrit:

. a écrit:

f(x+f(y))=f(y+f(x)) donc f(x+f(y))=f '(x)f(y+f(x)) de meme f(y+f(x))=f '(y)f(x+f(y)) donc pr tt x,y £ IR f '(x)=f '(y) d'où f est Cte=a donc f(x)=ax+b pr tt x,y £ IR ..

... Et en revenant à l'équation de départ, on trouve : a(x+ay+b)+b = a(y+ax+b)+b
Donc pour tout x,y de IR : (1-a)(x-y)=0, donc a=1.
D'où les solution S={x|-->x+b , b € IR}

exact !

Pas tout à fait, tu as fait une erreur en dérivant, prière de lire les posts antérieurs.

oui oui j'avoue ..