Des équations diophantiennes assez compliquées .

Bon après-midi tout le monde .
Je vous propose ces équations diophantiennes , elles sont vraiment intéressantes
1)Prouver que pour tout nombre premier p , l'équation n'admet pas de solution entière (q,n) avec q,n>1

2)Déterminer tous les triplets d'entiers positifs (x,k,n) tels que

3)Trouver tous les couples (p,q) vérifiant :
où p et q sont des nombres premiers .

4)Résoudre dans N² :

Hard luck comme toujours .

Ca fait un bail moi et l'arithmétique sinon c'est la meilleur occasion pour y revenir

1)Soit un nombre premier strictement suprérieur à 5 vu que les cas p=2,3,5 sont triviaux, comme alors il en résulte que donc est un diviseur de Ainsi de , Or car donc il s'ensuit que ne peut pas dépasser 1 en contradiction avec la condition imposé à n,
2) supposons qu'il existe un triplet vérifiant , supposons que et , si est pair alors du coup i.e est un résidu quadratique ce qui est absurde, si est impair il s'ensuit que donc il existe tel que Ainsi il est facile de montrer en mod 4 que k est pair, ainsi que lambda donc D'après The lifting exponent lemma on a soit Ainsi donc l'égalité devient équivalente à où et sont des entiers impairs et comme alors il s'ensuit que Or donc i.e et Ainsi comme alors d'aprés l'inégalité de Bernoulli en contradiction avec l'inégalité ci dessus , et du coup il est facile de vérifier les solution triviaux.
3) il est facile de vérifier que d'aprés l'équation il en résulte que et donc et , si alors et ce qui n'est pas vrai y compris l'égalité, Ainsi , soit et soit donc on a ce qui donne , si alors et donc ce qui n'est pas vrai, Ainsi et Maintenant si on a il s'ensuit que et car Ainsi d'aprés l'equation original ce qui est contradictoire avec ,si alors donc est solution , si alors ce qui ne satisfie pas l'equation
4) le problème est équivalent de chercher tous les entiers naturels n tel que soit un entier qui est un ancien problème de l'IMO 199...(je me rappele plus du dernier chiffre..)