Olympiade TSM n°3

Problème 1. Déterminer les plus grandes constantes C tel que:
i)- x²+y²+1>= C(x+y)
ii)- x²+y²+xy+1 >= C(x+y)
Problème 2. (édité)
Prouver que l'équation x²+p|x|=qx-1 admets 4 solutions distincts si et seulement si p+|q|+2<0
Problème 3.
Déterminer toutes les fonctions f:IR-->IR tels que pour tous (x,y)£IR² on a:
(x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))
Problème 4.
Soit ABC un triangle et I son centre du cercle inscrit. P un point à l'intérieure de ABC tel que: angle{PBA}+angle{PCA}=angle{PBC}+angle{PCB}. Prouver que AP>= AI avec égalité si et seulement si P=I

On propose maintenant des problèmes d'IMO ?!
@Mohe : qui a donc passé ce troisième test ?

Dans notre lycée juste lui et moi .
En gros c'était facile , cependant j'ai foiré dans le premier et le troisième éxo ( surmenage je suppose ) .

OK !

Othman l'exo 4 , qui t'a dit ils vont le poser mdrr .. matb9ash t7ét exoyat flforum 9bl test xD

il ressemble a celui de la premiere sauf le dernier exercice!

C'est qui othman dans l'histoire ?

XD c'est moi ; lool tu te rend compte je l'avais fait assez facilement à la maison et dans le test bdite bih et ça m'as pris 1h30 j'ai eu un blocage fou ( mais remarque j'était pas le seul ) .

Mohim , ne poste plus les exos de test avant le test ( sinon hangoulha lmoussawi mdrrr )

Solution 1.
i)- x²+y²+1= (x²+1/2) + (y²+1/2) >= (x+y)V2
d'où C=V2, atteinte lorsque x=y=pm 2/V2
ii)- x²+y²+xy+1>= 3/4 (x+y)²+1>=V3(x+y)
d'où C=V3, atteinte lorsque x=y=pm 1/V3
Solution 2.
L'equation admet quatre solutions distincts si et seulement si |p+q|>2 et |p-q|>2
+Si |p+q|>2 et |p-q|>2, on prouver que p-q<-2 et p+q<-2
si p-q>-2 alors p-q>2, d'ou pour x£IR+, on a: x²+p|x|-qx+1=x²+x(p-q)+1>0, d'ou les 4 solutions de l'equation sont tous négatives, ce qui est impossible, d'où p-q<-2.
si p+q>-2 alors p+q>2 et donc pour x négatif, on a: x²+p|x|-qx+1=x²-x(p+q)+1>(x-1)²>= 0, d'où l'équation n'admet aucune solution negative, ce qui est encore impossible d'où p+q<-2.
Ainsi p+2<q<-2-p ou encore p+|q|+2<0
+SI p+|q|+2<0, alors -2>p+|q|>p+q,p-q d'où |p+q|,|p-q|>2 et par conséquent l'équation admet 4 solutions distincts, ce qui acuève la preuve.
Solution 3.
Soit f une solution autre que la fonction nulle (si elle existe).
On pose P(x,y): (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))
si f(0)=0, P(y,0): f(y)=0 pour tous y£IR,absurde,d'où f(0) est different de 1.
P(0,x): f(0)(x-2)+f(2f(x))=f(x) d'où f est injectif.
Supposons qu'il existe un élément a£IR\{2} tel que f(a) et b=(a-2f(a))/(1-f(a)) sont tous les deux differents de 1.
P(a,b): f(b)=0
P(b,x): f(x)=0, ce qui est absurde,
d'où si a£IR\{2}, soit f(a)=1 soit (a-2f(a))/(1-f(a)).
i.e pour tous x£IR: f(x)=1 ou f(x)=x-1
et puisque f est injectif il n'existe qu'un élément c tels que f(c)=1 et par conséquent, pour tous x£IR\{c}, f(x)=x-1, d'où c=2 or f(2)=2-1 ainsi f(x)=x-1 pour tous réel x.
Réciproquement les fonctions f:x->0 et f:x->x-1 vérifient toutes les deux les conditions initiales et sont donc les seules solutions.
Problème 4
IMO 2006 Pro 1 déja discuté dans le marathon de géometrie.


Commentaire: Apparement le premier problème était assez facile comme inégalité, vu que la plupart des qualifiés étais fort en inégalités et méritaient de voir un problème de taille. Pour le deuxième problème, au niveau de la difficulté, il est là ou il doit être, mais c'est rare qu'on voit de tels problèmes à l'IMO, donc il fallait le changer par un problème d'arithmétique (de même difficulté). Pour le problème 3, bien choisi. Pour le dernier Problème, Je trouve vraiment très bizzare le fait de proposer un Problème 1 d'IMO, des années récentes (2006), que probablement tout les candidats le connaissaient, comme problème 4. Au moins ils devaient proposer un Shortlist.

@Mohe :
- Pour la réciproque dans le problème 2, il ne faut pas simplement dire que les deltas sont positifs, mais aussi prouver que les deux solutions produites par chaque équation appartiennent à l'ensemble où l'on recherche les solutions (R+ et R- respectivement).
- Je vais lire avec intérêt ta solution au problème 3 si tu corriges quelques erreurs qui y figurent (par exemple, tu parles de P(0,x) et tu donnes quelque chose d'autre).
- Je suis d'accord avec ton commentaire final.

Joli Cimo pour l'EF . J'avais pas vu l'injectivité et j'ai tourné par ici et par là avant de trouver une solution longue -_- ..
Sinon moi j'ai pas aimé du tout l'Ex 2 juste des calculs .. et l'exo 1 était facile quand même ..

Dijkschneier a écrit:

@Mohe :
- Pour la réciproque dans le problème 2, il ne faut pas simplement dire que les deltas sont positifs, mais aussi prouver que les deux solutions produites par chaque équation appartiennent à l'ensemble où l'on recherche les solutions (R+ et R- respectivement).
- Je vais lire avec intérêt ta solution au problème 3 si tu corriges quelques erreurs qui y figurent (par exemple, tu parles de P(0,x) et tu donnes quelque chose d'autre).
- Je suis d'accord avec ton commentaire final.

En ce qui concerne le deuxième problème, bien sur on doit le prouver, ceci est analogue à la troisième ligne de ma solution.
Pour l'équation fonctionnelle, c'est P(x,0) pas P(0,x). J'ajoute aussi qu'au début de la solution, j'ai prouver que f(0) est different de 0 (pas de 1).

Bonjour les amis
waa OTHMAne asa7bi daba ngolha LINTAHA fstage 2 lOL
sinon pour le test j'ai pas trop aimé apart lexo 3 qui m'a pa laisser du temps pour copier l'exo 4 lOl
j'avé donc fait les 3 premiers
@othmane : n'oublie pas de nous apporter demain l'exo 4 du prochain test xD

Vu que je suis en vacances et que je suis chez moi , aujourd'hui c'était une meilleure occasion pour revivre l'esprit de compétition, j'ai passé le test avec deux qualifiés...Les 3 premiers exos étaient faisables en 30 minutes, quant au 4 ème c'était le deuxième problème de géometrie que j'ai à faire depuis le problème 4 de l'IMO 2010 et qui était par miracle un problème IMO..malgré que Hammouch m'a encouragé en me donnant un compas pour tracer la figure j'ai vainement réflechi au problème sans aucune volonté de le faire et sans aucun espoir...et je crois que c'est la dernière fois ou j'aurrais une telle occasion, bonne chance à tous les qualifiés je vous souhaite de trés bons résultats cette année...

Lol Alors le dernier compas que tu va prendre en main serait le compas de Hammouch ? Mdrr

PS: Dommage qu'on est pas sur Face , sinon j'allais cliquer sur "j'aime" au dessous de ton poste xD

@ABDEK
on aimerait bien si cette occasion était au stage de RABAT ...
en Fait vous n'avez pas remarquez que tout ce test vien de LA SLOVénie ?
car j'ai toujours remarqué qu'ils sont toujours attachés ala SLOVENIE .

J'imagine mal comment Abdek arrive à faire les 3 premiers problèmes en 30 minutes.
Je peux comprendre qu'on puisse avoir la réponse en tête en 30 minutes, mais y penser et rédiger en 30 minutes...
A quelle allure rédigez-vous des démonstrations ?

Question subsidiaire : c'était 4h pour vous ou 3h ?

@Mohe : tu peux éditer ton premier message en corrigeant les erreurs dans ta solution au problème 3 ?

C'était 3heures , pour la démo de Mohe il n'y a que deux fautes de frappe .

En fait, DMFA MC, c'est quel pays ?
Slovénie ?

Salut les amis...

j'éspere que vous avez bien passé le test , Abdek a passé aussi avec nous le test , et c'était super ^^, moi aussi j'aime ta publication baraa ^_^ ,....

ANA HY DFCHTHAAAAAA KNTE Kanryéd BZAAF LOOL surtt fzawéJJ
et toi t'as bien ppassé?
@ DIJKCHNEIR oui DMFA sa vien dla slovénie
et même l'IMO 2006 c'est dla slovénie

xD au fait Hammouche n'oublie pas de garder ce compas très soigneusement

hhhh bazz ta3lémti lwoujdya a houssam rak tema , tkt baraa je le ferai ^_^

Dijkschneier a écrit:

J'imagine mal comment Abdek arrive à faire les 3 premiers problèmes en 30 minutes.
Je peux comprendre qu'on puisse avoir la réponse en tête en 30 minutes, mais y penser et rédiger en 30 minutes...
A quelle allure rédigez-vous des démonstrations ?

Question subsidiaire : c'était 4h pour vous ou 3h ?

@Mohe : tu peux éditer ton premier message en corrigeant les erreurs dans ta solution au problème 3 ?

il faut imaginer que je n'ai pas donner ma copie, vu que je n'ai pas pris la peine de rédiger...et c'est inutile sous-pretexe que les copies ne seront pas examinées....j'ai seulement travaillé sur le brouillon

Sporovitch a écrit:

ANA HY DFCHTHAAAAAA KNTE Kanryéd BZAAF LOOL surtt fzawéJJ

hhhhhhhhh...xD blla3 ta9a nou raha tssab