Arithmétique et trigo

1. Montrer que cos^3(pi/9) - 6 cos(pi/9) - 1 = 0
2. Déduire que cos(pi/9) est un nombre irrationnel

Pour la question 2) une manière très élégante de la faire est d'utilisé le fait qu'un polynôme à coefficients naturels ne peut avoir de racines dans Q-Z , après il est clair que cos(pi/9) n'appartient pas à Z donc il appartient à R-Q :p .

salam Canon
2/
on considère l'équation suivant (E): z^3 -6z-1=0
(pi/9 est la seule solution de de (E))
on suppose que (E) admet une solution rationnel
on pose cos(pi/9) r=p/q p£Z et q£Z* avec pgcd(p;q)=1
=> p^3/q^3 -6p/q-1=0
=>p^3-6pq²-q^3=0
=> p^3=q^3+6pq² et q^3=p^3-6pq²
=>p^3=q(q²+6pq) et q^3=p(p²-6q²)
donc q divise p^3 et p divise q^3
et puisque p et q sont premiers entre eux alors |q|=1 et |q|=1 donc r=1 ou r=-1
ce qui est impossible car -1<cos(pi/9)<1 .