Joli Exo ! ( Ensemble )

Trouver le plus petit entier naturel n tel que si l'ensemble {1,2,..n} est divisé en 2 sous ensembles disjoint , alors l'un de ses 2 sous ensembles contient 3 éléments distincts a,b,c t.q ab=c

{1,2,3,4,5,6} = {2,3,6}U{1,4,5}, avec 2.3=6, d'où n=6 ?!
Je ne dois pas avoir très bien compris le problème, n'est-ce pas ?

La propriété de l'existence de a,b,c t.q ab=c doit être vrai pour toute division arbitraire en 2 sous ensembles .
Par exemple pour n=6
{1,2,3,4,5,6} ={1,2,3,4,5}U{6} mais aucun éléments de ses 2 sous ensembles ne contient 3 éléments a,b,c t.q ab=c..

Puisque ça marche pour n=36, et qu'il y a de fortes chances pour que la valeur recherchée soit 36, alors il suffit d'exhiber des contre-exemples pour tous les cas <36 et on aura terminé.

Plus précisément, pour tout n<36, on peut considérer comme contre-exemples les deux ensembles suivants qui forment une partition de {1,2,3,...,n} lorsque l'on prend leurs éléments qui sont <=n :
{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,24,25,29,30,31}
{6,8,10,12,14,15,18,20,21,22,26,27,28,32,33,34,35}
C'est-à-dire, pour montrer par exemple que n=19 n'est pas une valeur convenable, on prend comme contre exemple les deux ensembles suivants :
{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19}
{6,8,10,12,14,15,18}

Heu prk avec n=36 dans cet ensemble ça marche pas :
( ton contre- exemple est faux vu que 7*5=35)
{1,2,3,4,5,11,13,16,17,19,23,24,25,29,30,31,35,36}
{6,7,8,9,10,12,14,15,18,20,21,22,26,27,28,32,33,34}

C'est vrai ! Je ne sais pas pourquoi j'ai affirmé que c'était 36...
Pour 35, il doit par contre être mis dans le second ensemble et ça serait bon.

Je pense qu'essayer comme ça au pif ça le fait pas vu que n n'est pas aussi petit que ça , il faut trouver un algorithme ou une méthode bien défini pour éliminé les cas .

Dijkschneier a écrit:

Puisque ça marche pour n=36, et qu'il y a de fortes chances pour que la valeur recherchée soit 36, alors il suffit d'exhiber des contre-exemples pour tous les cas <36 et on aura terminé.

Bonsoir Dijkschneier!
Je ne crois pas que ça marche pour n=36, puisque la valeur recherché en est suppérieure, l'un de nous doit avoir commit une erreur, aussi je voulais préciser que notre ami Sylphaen n'aurait jamais proposé un problème où on doit établir des contre-exemples pour 35 cas. Ce serait gentil de ta part de revoir tes calculs ou de me repérer les erreurs dans ma démonstration.
Indice:
On ecrit E={1,2,3,4,7,9,11,13,48,60,72,80}U{6,8,10,12,...,n}
On vérifie directement que n>= 8*12= 96.
Il suffit de prouver que pour tout ecriture de D_{16}=AUB, il existe trois entiers distincts, soit tous de A soit tous de B tels que c=ab; où D_{16}={k : k|96}.

Pour n =96 on vas essayer de construire un contre exemple et finir par trouver que ceci est impossible .
Supposons que 2,3,4 sont dans le même ensemble
E={1,2,3,4,...,.......96}U{...6,...,8,12,...,...} (6,8,12 et 96 s'imposent)on remarque que quelque soit l'ensemble ou on met 48 on a soit 2*48=96 soit 8*6=48
Si 2,3 sont dans un ensemble et 4 dans l'autre :
E={1,2,3,...,24,........}U{4,..,6,....,48.....,72...} (4*6=24;et 2*24=48 et 3*24=72)on remarque que quelque soit l'ensemble où on met 8 on a soir 8*3=24 soit 8*6=48.
Si 2,4 sont dans un ensemble et 3 dans l'autre on a
E={1,2,4,...,24,.....}U{3,..,8,...,48,........,96}(24*4=96 et 24*2=48) et là encore 6 pose problème vu que 6*4=24 et 6*8=48 .
Si 4,3 sont dans un ensemble et 2 dans l'autre :
E={1,3,4.......,24,....}U{2,...,12,....,72,..,96} et là c'est encore 8 , on a 8*3=24 et 8*12=96 .
Finalement on a couvert toute les possibilités et 96 est bien une solution , puisque notre cher Mohe a trouvé un ensemble dans lequel n>=96 ( tu as oublié de posé le 5 ) alors n=96 est bien la solution .
Sauf erreur .