Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)

Salut . J'ai entamé le cours des inégalités alors je suis arrivé à l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) alors svp j'aimerai avoir une démonstration différente de celle sur animaths.

La convexité de la fonction -ln appliqué à n réels >0 et de poids 1/n donne directement le résultat

En d'autres termes l'inégalité de Jensen appliqué à f: x -> ln(x), étant concave et non convexe car f'': x -> -1/x^2 <0
Si tu avances jusqu'au cours de convexité dans le fascicule d'Animath tu la trouveras

Alors je crois que je dois jeter un coups d’œil sur les leçon du terminal car ça va beaucoup être utile.

Pas forcément :p, la convexité et la concavité sont des notions importantes dans le domaine mathématique surtout en inégos, faut les maîtriser en dehors de toute considération comme un cours ou non .

OK

Consulte ce lien:http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

Il existe d'autres preuves de l'IAG, dont une qui utilise la récurrence de Cauchy. Elle est moins rapide que celle qui utilise Jensen, mais beaucoup plus intéréssante.

la récurrence de Cauchy ... un éclaircissement peut-être ?

Oui ça demande une disjonction des cas + récurrence.

Voila une autre preuve ingénieuse:

Sachant que pour tout x £ R, x=<exp(x-1)
notons M=(a_1+...+a_n)/n
alors :
a_1/M * a_2/M * ... * a_n/M =< exp(a_1/M-1) * exp(a_2/M-1) *...* exp(a_n/M-1) =exp(0)=1

alors: a_1*a_2*...*a_n =< M^n
d'où le résultat.

Cette méthode -non instructive, mais vraiment magnifique - est proposée par le célèbre mathématicien George Pólya.

Je considère la méthode de convexité la plus importante; pour les deux autres méthodes à savoir la récurrence et la récurrence par disjonction de cas (obtenue par Cauchy) sont très longues et n'apportent pas grande chose à l'élève.

Merci pour cette démonstration

De rien.