Inégalité arithmético géométrique.?????!!!!

Démontrez ceci mais par récurrence

avec a1, a2,..............an sont des réels strictement positifs et n de IN*

on pose: a1+a2+...+an=Sn
a1*a2*.....*an=Pn ; on a: Pn=<(Sn/n)^n . M.q Pn*an+1=<(Sn+an+1/n+1)^n+1 .
soit la fonction f(x)=(Sn+x/n+1)^n+1-Pn*x .
f'(x)=0 pour x0=(n+1)*Pn^1/n-Sn
f(x0)=n*Pn(Sn/n-Pn^1/n)>=0
donc f(x)>=f(x0)>=0 .pour x=xn+1=an+1 ; f(an+1)>=0
Cést a dire: Pn*an+1=<(Sn+an+1/n+1)^n+1

qui vous a dit que
f(x)>=f(x0)

avec la concavité de la fonction de ln c'est plus simple!

nn notre niveau nous appelle à se restreindre de l'étudier avec la récurrence

est ce qu'il y a une méthode par récurrence car c'est un exercice de al moufid pour la première sc maths??????????

si xo>0 ona:

x :0...........(x0)..............+inf...
f' : décroiss : croiss :
.....:..............:.......................
f : :
: décroiss : croiss
......:...........f(xo)...................
f(xo)=n.Pn(Sn/n-Pn^1/n)>=0 alors f(x)>=f(xo)>=0

si xo<0
0:...........................+inf
f': croissante
....:.................................
f : croissante
...:...........................
f(0)=(Sn/n+1)^n+1>=0 alors f(x)>=f(0)>=0

salut
je cherche une méthode pour démontrer cet exercice par la récurrence!!!

Un lien utile :
http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means
Regarde dans Proof by Induction.

merci Thalès!

BJR smash !!

J'ai une question pour Toi :
Est ce que c'est Toi red1smb qui a posté la même chose sur le Forum MathsLand ????

Puis je te fais savoir que je vais rédiger un Document sur ta question : prouver IAG par une technique BACSM ...
Juste un peu de Patience ....

LHASSANE

déjà l'inégo jensen est démontrable par récurence// ceci revient à démontrer jensen implicitement !

codex00 a écrit:

déjà l'inégo jensen est démontrable par récurence// ceci revient à démontrer jensen implicitement !

Salut codex00 !!

Il suffit de pouvoir démontrer l'inégalité de CONVEXITE pour n=2 relativement à la fonction -Ln(.) sur IR+* .
Celà se ferait par une simple étude de variation d'une fonction convenable !!!! Voilà ! Il n'y a pas de secret .......

LHASSANE