Les v.a X e Y sont indépendantes et elles suivent la même loi uniforme sur ]0,1[ ==> leur densite f est : f(x)=1 sur ]0,1[ et f=0 ailleurs.
==> La v.a (X,Y) suit la loi de densite : f_(X,Y)(x,y)=f(x)f(y)
On pose g_1(X,Y)=U et g_2(X,Y)=V où g=(g_1,g_2)
E(h(U))=int(R²)h(g_1(x,y))f(x)f(y)dx dy , pour tout h continue >0
Soit le changement de variable : g
==> U²+V²=-2Ln(X) et V/U=tan(2pi.Y)
==> X=exp(-(U²+V²)/2) et Y=c.arctan(V/U) où c=1/(2.pi) à rectifier !!
E(h(U))=int(R²)h(g_1(x,y))f(x)f(y)dx dy
E(h(U))=int(R²)|J(u,v)| h(u) f(exp(-(u²+v²)/2)) f(c.arctan(v/u)) du dv
où J(u,v) le déterminant de la matrice jacobienne de g^(-1) ==> J(u,v)=dx/du.dy/dv-dy/du.dx/dv
exp(-(u²+v²)/2)€]0,1] qqs u,v€R ==> f(exp(-(u²+v²)/2))=1
c.arctan(v/u)€]0,1/4[ qqs u, v €R: uv>0 ==> f(c.arctan(v/u))=1 si uv>0 et f(c.arctan(v/u))=0 si uv<0
E(h(U))=int(]0,+00[² )|J(u,v)| h(u) du dv+int(]-00,0[² )|J(u,v)| h(u) du dv
dx/du=-u exp(-(u²+v²)/2)
dx/dv=-v exp(-(u²+v²)/2)
dy/du= c (-v/u²)/(1+v²/u²)=-cv/(u²+v²)
dy/dv=c/(1/u)/(1+v²/u²)=cu/(u²+v²)
==> J(u,v)=-u exp(-(u²+v²)/2).cu/(u²+v²)-cv/(u²+v²).v exp(-(u²+v²)/2)
==> J(u,v)=-cu² exp(-(u²+v²)/2)/(u²+v²)-cv² exp(-(u²+v²)/2)/(u²+v²)
==> J(u,v)=-c exp(-(u²+v²)/2)
E(h(U))=int(]0,+00[² )|J(u,v)| h(u) du dv + int(]-00,0[² )|J(u,v)| h(u) du dv
E(h(U))=c. int(]0,+00[²) exp(-(u²+v²)/2)h(u)dudv+c. int(]-00,0[²) exp(-(u²+v²)/2)h(u)dudv
E(h(U))=cV(2pi)/2. int(]0,+00[) exp(-u²/2)h(u)du+ cV(2.pi)/2 .int(]-00,0[) exp(-u²/2)h(u)du
E(h(U))=cV(2pi)/2. int(R) exp(-u²/2)h(u)du
E(h(U))=int(R)h(u)f_U(u)du
==> f_U(u)=cV(2pi)/2. exp(-u²/2)
int(R) exp(-u²/2)du=V(2pi)
===> int(R)f_U(u)du=1 ssi cV(2pi)/2.V(2pi)=1 ssi c=1/pi
U suit la loi normale centrée réduite N(0,1) ( on doit remplacer 2pi par pi )
car la densité est : f_U(u)=1/V(2pi). exp(-u²/2)
Même chose pour V : f_V(v)=1/V(2pi). exp(-v²/2)
et elles sont indépendantes
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