Un classique

Existe-il une fonction strictement croissante f: R->R telle que f'(x)=f(f(x)) pour tout x?

.

non c'est la dérivée de f.

ok

fof bijective de IR vers IR (continue strictement monotone) et strictement positive, contradiction.

C'est trop vague comme raisonnement: bijective de R dans f(R) il faut étudier bien les limites, mais c'est une bonne idée à avoir !

Oui désolé, bijective de IR vers f(IR).
Je vais y repenser à nouveau.

Comme il n y'a pas de réponse je poste une,
Si il existe x tq f(x)<=0 alors f(f(x))<=f(0) d'où f(0)>=0 alors f(f(0))>=f(0) et comme f(f(x))>=f(f(0)) alors f(f(x))=f(0) contradiction!
alors f(x)>0 pour tout x£R.
alors f'(x)=f(f(x))>f(0)
ainsi: pour tout x>=0 , f(0)-f(x)=f'(a)(0-x)>-xf(0) donc f(x)<(1+x)f(0) ainsi f(x) est négative à partir de x<1.
CCL: il n'en existe pas.

Sauf erreur.