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Sujet: Re: Marathon d'Oraux Mar 06 Sep 2011, 10:30
D={z€C/|z|=<1} et U={z€C/|z|=1} Soit Z={z€D/f(z)=z}, par hypothèse U c Z et Z est fermé. Si on montre que Z est ouvert dans D alors, par connexité de D, on aura Z=D.
Soit (z_n) une suite de D\Z qui converge vers un z€D. Montrer que z€D\Z
Dijkschneier Expert sup
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Sujet: Re: Marathon d'Oraux Sam 24 Sep 2011, 21:14
Problème 8 : Trouver toutes les fonctions f : R --> R+ continues telles que pour tout x de R :
abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: Marathon d'Oraux Dim 25 Sep 2011, 10:04
f(0)=0 et f est croissante positive ==> f(x)=0 pour tout x=<0
Soit Z={x€R+/ f(x)=0} Si Z est non majoré, qqs x>0 il existe y€Z : y>x ==> f(x)=0. Alors f=0 Si Z est majoré, soit a=sup Z ==> f=0 sur [0,a] et f >0 sur ]a,+00[ i.e Z=[0,a]
On a qqs x>a, f'(x)/2Vf(x)=2 ==> Vf(x)=2x+c pour tout x>a par continuité, 2a+c=0 ==> c=-2a ==> f(x)=4(x-a)²
Résumé: les solutions du problème sont: f=0 ou f(x)=4(x-a)² si x>a et f nulle ailleurs pour un certain a>=0
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