Marathon

Habitué Nombre de messages : 16 Age : 27 Date d'inscription : 03/02/2013

Sujet: Marathon

TT comme les autres marathon qu'on a vu se créer ces derniers jours, je vous propose un marathon d'exercices , pour la preparation de l'IMO et MYMC, en bien respectant les règles déja postées au début des autres marathons.
Bonne Chance!

Exo1:
Déterminer toutes les fonctions $Marathon 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7$ , $Marathon Fac66abfca4fa22b5139a9ac8836810f$ telles que : $Marathon C6c147148002da34ff36abe88bebad18$ quels que soient les entiers $Marathon 6f8f57715090da2632453988d9a1501b$ et $Marathon 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1$ .

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Solution exo 1 :

SOL:

Habitué Nombre de messages : 16 Age : 27 Date d'inscription : 03/02/2013

Joliiiii

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

EXO 2 :
Dans le triangle ABC, la bissectrice de l'angle au sommet C intersecte le cercle circonscrit et la médiatrice des côtés BC et CA aux points R, P et Q, respectivement. Les milieux de
BC et CA sont S et T, respectivement. Démontrer que les triangles RQT et RPS ont la même aire.

Mr Boubou vérifie stp est ce que l'énoncé est juste Very Happy

Féru Nombre de messages : 59 Age : 27 Date d'inscription : 11/02/2012

Désolé, je n'ai pas le temps pour y penser complètement mais je vous propose de distinguer deux cas :
AC=BC
AC différent de BC.

Puisque dans le premier le résultat est trivial.

Goodbye.

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

alidos a écrit:: Mr Boubou vérifie stp est ce que l'énoncé est juste
Le problème est vérifié,l’énoncé est juste.

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

L'exo est resté sans solution pour longtemps, pour ne pas bloquer le marathon dés le debut , je poste ma solution en spoiler :
Marathon <a href=

" />

SOL:

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

EXO 3:
Trouver toutes les fonction : $Marathon Gif$ :tels que pour tous m,n entier naturel :
$Marathon (f(m)^2+n)$

SOL EX3)

P(m,n):f(m)²+n=k(m²+f(n))
P(0.0):f(0)²=kf(0)
Si f(0)=0 alors P(m,0)donne f(m)=mracine k en remplacant dans l equation initiale on trouve que k=1 donc f(m)=m est bien une solution
si f(0)=/=0
alors k=f(0)
donc P(0,n):f(0)²+n=f(0)(f(n))
f(n)=f(0)+1/f(0)xn
en remplacant dans l equation initial avec k=1 on trouve que m(f(0)^3-1)-2f(0)²=0
pour tout m donc f(0) admet deux valeurs ce qui est absurde donc f(0)=0 donc l identité est la seule solution sauf erreur

Solution de l'exercice 3

m²+f(n) | f(m)² +n

pour m=n=1 1+f(1) |f(1)²+1 a partir d'ici f(1)=1 ou f(1)=0

si f(1)=0 alors 1+f(n) |n

pour n=p alors alors f(p) = p-1 pour tout premier p

si m=n=p on voit dans l'EF initiale que la relation n'est pas satisfaite pour tout premier p

ainsi si f(1)=1 alors 1+f(n) |n+1 alors f(p-1)=p-1 pour tout premier p

dans l'EF initiale pour m=p-1 on (p-1)²+f(n) |(p-1)²+n ainsi n >= f(n) (*)

pour n= p-1 on a m²+p-1 | f(m)² +p-1 ainsi f(m)² >= m² et puisque f est défini de IN vers IN alors f(n) >= n pour tout entier naturelle n

conclusion f(n) =n Very Happy

Exercice 4

comme j'ai décidé d'éviter une inégalité monstrueuse Laughing

je propose ce joli exercice

trouvez tous les triplets (m,p,q) tels que m est entier naturelle et p ,q deux nombres premiers satisfaisant

$Marathon Ac8098e3e4ac4b804dd635cb61b8e3c501a74129$

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Citation :

Citation :: comment tu as abouti à k=1 ?? et je pense qu'on ne peut pas remplacé k =1 vers la fin puisque k est dépendant de n et m .

amigo-6
SOL EX3)

P(m,n):f(m)²+n=k(m²+f(n))
P(0.0):f(0)²=kf(0)
Si f(0)=0 alors P(m,0)donne f(m)=mracine k en remplacant dans l equation initiale on trouve que k=1 donc f(m)=m est bien une solution
si f(0)=/=0
alors k=f(0)
donc P(0,n):f(0)²+n=f(0)(f(n))
f(n)=f(0)+1/f(0)xn
en remplacant dans l equation initial avec k=1 on trouve que m(f(0)^3-1)-2f(0)²=0
pour tout m donc f(0) admet deux valeurs ce qui est absurde donc f(0)=0 donc l identité est la seule solution sauf erreur

[url=<a] $Marathon &space;1&space;\&space;donc&space;\&space;f(0)=0&space;\\&space;maintenant&space;\&space;si&space;\&space;on&space;\&space;remplace&space;\&space;d'une&space;\&space;part&space;\&space;n&space;\&space;par&space;\&space;0&space;\&space;et&space;\&space;d'autre&space;\&space;part&space;\&space;m&space;\&space;par&space;0&space;\&space;on&space;\&space;a&space;\&space;f(m)=m&space;\&space;pour&space;\&space;tout\&space;m&space;$ [/url]

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

SOLUTION pour exo 4:

SOL:

$Marathon Gif$ "
$Marathon Gif.latex?on&space;\&space;va&space;\&space;resoudre&space;\&space;on&space;\&space;generale&space;\&space;dans&space;\&space;Z&space;\&space;l'equation&space;\&space;x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}&space;\\&space;il&space;\&space;est&space;\&space;facile&space;\&space;de&space;\&space;voir&space;\&space;que&space;\&space;(x;y)&space;\&space;est&space;\&space;solution&space;\&space;ssi&space;\&space;(x;-y)&space;\&space;l'est&space;\&space;aussi&space;.&space;\\&space;on&space;\&space;peut&space;\&space;supposer&space;\&space;donc&space;\&space;que&space;\&space;y\geq&space;0&space;\\&space;on&space;\&space;a&space;\&space;l'equivalence&space;\&space;entre&space;\&space;x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}&space;\\&space;et&space;\&space;\&space;(2x^{2}+x)^{2}&space;+&space;\left&space;(&space;3x^{2}+4x+4&space;\right&space;)=\left&space;(&space;2y&space;\right&space;)^{2}&space;\&space;\left&space;(&space;1&space;\right&space;)&space;\\&space;(2x^{2}+x+1)^{2}-(x-3)(x+1)=(2y)^{2}&space;\&space;\left&space;(&space;1&space;\right&space;)&space;\\&space;Notons&space;\&space;que&space;\&space;3x^{2}+4x+4>&space;0&space;\&space;et&space;\&space;2x^{2}+x+1&space;>&space;0&space;$ " /
$Marathon Gif.latex?Maintenant&space;\&space;si&space;\&space;x>&space;3&space;\&space;alors&space;\&space;2x^{2}+x<&space;2y&space;\&space;d'apres&space;\&space;\left&space;(&space;1&space;\right&space;)&space;\&space;et&space;\&space;2y>&space;2x^{2}+x+1&space;\&space;par&space;\&space;\left&space;(&space;2&space;\right&space;)&space;\&space;impossible&space;.\&space;de&space;\&space;meme&space;\&space;lorsque&space;\&space;x<&space;-1&space;$
Conclusion (p;q;m)=(11;3;1)

si m=0 par un raisonnement semblable on ne trouve aucune solutions .
OOOooof

je propose l'exercice suivant
Exercice 5
trouver toutes les fonctions de R* vers R* tel que $Marathon Gif$

Boubou math je pense qu'il y aune faute dans ta solution .
$Marathon P^{2}\Rightarrow&space;a=1&space;\&space;ou&space;\&space;a=p&space;\&space;ou&space;\&space;a=p^{2}$
alors il te reste le cas a=p² et je pense que tu as commis une faute lors de la reciproque puisque la solution est (11;3;1) et non (11;3;2)

re les amis Very Happy

,pour la démostration d'aymas l'étape ou on doit chercher les entiers q tels que

q^4+q^3+q^2+q+1 =p² n'est qu'un Shortlist 91 , Bravo Aymas Smile

Solution de l' exercice 5

Spoiler:

a vous de propose un autre exercice

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

aymas a écrit:: Boubou math je pense qu'il y aune faute dans ta solution .
$Marathon P^{2}\Rightarrow&space;a=1&space;\&space;ou&space;\&space;a=p&space;\&space;ou&space;\&space;a=p^{2}$
alors il te reste le cas a=p² et je pense que tu as commis une faute lors de la reciproque puisque la solution est (11;3;1) et non (11;3;2)

Oui tu as raison ,j'ai été un peu pressé quand j'étais entrain de rediger , le dernier cas est le plus facile en tous cas,je vais editer

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

EXO 6 :
Soit a,b,c des réel positifs tels que a+b+c=3,Prouver que :
$Marathon Gif$

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

aymas a écrit:

Solution de l' exercice 5

Spoiler:

Il y a une repétition d’étape mais c'est pas grave Very Happy

, belle solution , sauf que je pense que vers la fin pour dire que f(x)=x pour tous réel non nuls il faut signaler que f est impair,puisque f est borné seulement sur IR*_+ chose qui est facile vu les résultats déjà disponible .

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