Marathon De Géométrie

Salut tout le monde ,

Tout comme les autres marathons déjà créés , je vous propose celui de Géométrie .

Bien sur tout en respectant les règles déjà postées au début des autres marathons :

- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne .
- Spoiler les solutions afin de ne pas biaiser l'esprit des participants .
- Veiller à ne pas répéter les problèmes .
- Expliciter les notations utilisées , si nécessaire .
- Ne pas indiquer les sources des problèmes pour éviter des cas de tricherie .
- Ne pas poster des solutions incomplètes et par conséquent , ne pas attendre de confirmation pour proposer un nouveau problème .

Bon , commençons par ce problème :

fuck this exercise!!!!

Le jeu me semble avorté avant son commencement.
Inutile d'inhumer le jeu, merci de changer l'exercice pour pouvoir continuer.

Mr.Wajih a écrit:

Salut tout le monde ,

Tout comme les autres marathons déjà créés , je vous propose celui de Géométrie .

Bien sur tout en respectant les règles déjà postées au début des autres marathons :

- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne .
- Spoiler les solutions afin de ne pas biaiser l'esprit des participants .
- Veiller à ne pas répéter les problèmes .
- Expliciter les notations utilisées , si nécessaire .
- Ne pas indiquer les sources des problèmes pour éviter des cas de tricherie .
- Ne pas poster des solutions incomplètes et par conséquent , ne pas attendre de confirmation pour proposer un nouveau problème .

Bon , commençons par ce problème :

Problème 1 :

J'espère que tu es toujours là et que tu continuera ce jeu, j'espère aussi que les autres membres y participe.
Solution su Problème 1:
Soit A_2, B_2 et C_2 les milieux des côtés du triangle A_1B_1C_1. l'inversion de centre I et de rayon IA_1 renvoit les points A , B et C aux points A_2, B_2 et C_2, et les points A_1, B_1 et C_1 à eux même et puisque A_1A_2 et B_2B_1 et C_1C_2 sont concourantes, les cercles AIA_1 et BIB_1 et CIC_1 paratagent un point point autre que I que l'on note I', le reste est trivial puisque les axes radicaux des trois cercles sont confondues.

@wajih: merci pour le joli problème mais c'étais pas bien choisi pour débuter un marathon sur ce forum.

Problème 2:
Soit ABCD un quadrilatère cyclique .
Soient I, J, K, et L les milieux respectifs de AB, BC, CD, et DA. I', J', K', et L' les projections orthogonales respectives de I, J, K, et L sur les droites (CD), (DA), (AB), et (BC).
Montrez que les quatres droites (II'), (JJ'), (KK'), et (LL') sont concourantes.

N.B: Ce problème est déjà proposé au "Retour au plaisir" - espace Terminale, mais il n'y avait qu'une solution avec les complexes, je le pose ici car je l'ai trouvé intéressant, au moins d'après ce que j'ai fais pour le prouver.

MohE a écrit:

Problème 2:
Soit ABCD un quadrilatère cyclique .
Soient I, J, K, et L les milieux respectifs de AB, BC, CD, et DA. I', J', K', et L' les projections orthogonales respectives de I, J, K, et L sur les droites (CD), (DA), (AB), et (BC).
Montrez que les quatres droites (II'), (JJ'), (KK'), et (LL') sont concourantes.

Salut Mohe
Demontrons d'abord que le quadrilatere IJKL est un parallélograme
On a AI/AB=AL/AD ==> (IL)//(DB) et CK/KD=CJ/CB==> (JK)//(DB) donc
(JK)//(IL)
de meme on montre que (IJ)//(LK)
Soi O le centre du crecle circonscrit a ABCD
soit O_1 l'intersection de (II')et (KK')
soit O_2 l'intersection de (LL') et (JJ')
Puisque (O_1I') _|_ (DC) et (OK)_|_(DC) parceque (OK) est la médiatrice de [CD]
et puisque (O_1K') _|_(AB) et (OI) _|_(AB) ((OI) est la médiatrice de [AB]
Il s'ensuit que (OI)//(O_1K) et (O_1I)//(OK) donc
OIO_1K est un parallélogramme
de Meme on démontre que LO_2JO est un parallélograme
Il s'ensuit que [LJ] et [O_2O] se coupe au milieu de [LJ] et au milieu de [O_2O](LO_2JO parallélopgrame)
et [O_1O] et [IK] se coupe au milieu de [IK] et au milieu de [O_1O] (OIO_1K parallélorame)
et [IK] et [LJ] se coupe au milieu de [LJ] et[IK] (IJKL parallélograme)
Ce qui permet de dire que
[O_1O]et [O_2O] ont le meme Milieu
et puisqu'il ont un point en commun on on a donc O_2=O_1
sauf erreur
Problème 3:
lE CERcle inscrit au triangle ABC est tangent au côté [AC] en D; [DM] est un diametre de ce cercle inscrit.
l'intersection des droites (BM) et (AC) est notée K . Montrer que AK=DC

Solution au problème 3 :

Spoiler:

Problème 4 :
Deux cercles (C) et (C') intersectent en M et N . Soit (D) une droite qui passe par le centre de (C) et qui coupe (C') en A et B .(D') une autre droite passante par le centre de (C') et coupe (C) en C et D . On suppose que le quadrilatère ABCD est cocyclique . Démontrer que le centre du cercle (ABCD) appartient à (MN)

Sylphaen a écrit:

Problème 4 :
Deux cercles (C) et (C') intersectent en M et N . Soit (D) une droite qui passe par le centre de (C) et qui coupe (C') en A et B .(D') une autre droite passante par le centre de (C') et coupe (C) en C et D . On suppose que le quadrilatère ABCD est cocyclique . Démontrer que le centre du cercle (ABCD) appartient à (MN)

Solution au Problème 4:
Notons (C'') le cercle circonsrit a ACBD de centre O_3
Notons O_1 le centre de (C)
O_2 le centre de (C')
on a donc (MN) est l'axe radical de (C) et (C')
(AB) et l'axe radical de (C') et (C'')
(CD) et l'axe radical de (C) et (C'')
Il s'ensuit que les 3 axes radicaux sont concourants parcque AB et CD sont des diagonales et ne peuvent pas etre paralleles ou confondues
ainsi (MN)_|_(O_1O_2) ; (O_1O_3)_|_(CD) ; (O_2O_3)_|_(AB)
donc les 3 axes radicaux sont concourants dans l'orthocentre du triangle O_1O_2O_3
et puisque MN passe par l'orthocentre
il s'ensuit que o_3 , M , N sont colinéaire
CQFD
sauf erreur

Bonsoir tout le monde :

Spoiler:

Dsl sporovitch j'étais en train de rédigé quand tu as écris ta solution mais c'est pas la même donc hanix
Problème 5 :
Editer , soit ABC un triangle I le centre de sont cercle inscrit , et p un point tel que <PBA+<PCA=<PBC+<PCB montrer que AP >=AI et que le cas dégalité à lieu quand P=I

Solution au problème 5 :

Spoiler:

Problème 6 :
Soit ABCD un quadrilatère cocyclique . E l'intersection de (AC) et (BD) et M un point de [CE] t.q
<CBM = <DCA . Montrer que le cercle (BME) est tangent au cercle (ABCD) en B .

Solution du problème 6 :

Soit (BJ) la droite par B et tangente au cercle (BME), tout d'abord nous avons <ACD=<DBA=<CBM et <BCM=<BCA=<ADB. ainsi les deux triangles ABD et BCM sont semblables.
Nous avons <JBE=<EMB=180°-<BMC. et puisque <BMC=<DAB ainsi <JBE=180°-<DAB=<DCB=<JBD. De la dernière égalité (BJ) est tangente au cercle (ABCD) ainsi (Bj) est tangente à (BME) et à (ABCD), il s'ensuit que les deux sont tangent en B.

CQFD
J'attends une confirmation pour poster un nouvel exercice !

Bonsoir :
Heu pour la soluce j'ai fait la même chose que toi juste que moi j'ai démontré d'ou venait l'angle <BIO ( enfin je pense que c'est assez trivial donc bon ) .

Solution du problème 6 :

Spoiler:

Et je n'est pas de problème à proposé

Postez un nouveau problème .. N'attendez pas de confirmation la prochaine xD

Problème 7 :

Soit ABC un triangle et P un point à l'intérieur du triangle, les droites (AP) et (BP) et (CP) coupent le cercle circonscrit de ABC en K,L et M respectivement. Le tangent au cercle en C coupe (AB) en S. Prouvez que MK=ML sachant que SC=SP

Mehdi.O a écrit:

Problème 7 :

Soit ABC un triangle et P un point à l'intérieur du triangle, les droites (AP) et (BP) et (CP) coupent le cercle circonscrit de ABC en K,L et M respectivement. Le tangent au cercle en C coupe (AB) en S. Prouvez que MK=ML sachant que SC=SP

Très fameux, de sorte que tout le monde l'a fait et personne ne veut proposer sa solution, alors je me charge de proposer un autre.
Problème 7.
Le demi-cercle de diamètre BC coupe les côtés AB et AC d'un triangle ABC en D et E respectivement. On note F et G les projections orthogonales de D et E sur BC. les droites EF et DG se coupent en M. Démontrer que (AM) et (BC) sont perpendiculaires.

@Mehdi: désolé d'avoir changer le problème que tu as choisi mais tu as peut-etre vu pourquoi.

Solution au problème 7 :

Spoiler:

Problème 8 :
Soit C un cercle de centre O .[AB] une corde de C , I le milieu de [AB] . [MN] une corde de C passante par I. Les tangentes à C en M et N coupent (AB) en P et Q respectivement . MQ : AP=BQ

Solution du problème 8 :

Spoiler:

Problème 9 :
ABC un triangle ayant <BAC = 60 , AP la bissectrice de BAC et et BQ est la bissectrice de ABC avec P appartenant à BC et Q appartenant à AC Si
AB+BP=AQ+QB quelles sont les angles du triangle ABC

Ce n'est pas AP+BP=AQ + BQ?
Amicalemetn

Voici un nouveau exo pour remplacer l'autre qui est en effet un exo de l'OIM 01 ..
Problème 9 :

Soit (C) et (C') deux cercles tangent intérieurement en un point A de Rayon R et R' t.q 4R'=3R .
M est un point de (C') différent de A . La tangente de (C') en M coupe (C) en P et Q .

Démontrer que (AM) est la bissectrice intérieure de l'angle PÂQ et que AP+AQ=2PQ

Solution Problème 9:

Spoiler:

sauf erreur .
je n'ai pas pour l'instant des problèmes intressants !

C'est bizzare, j'ai refait le schéma 4 fois. [AM) est extérieure à l'angle PÂQ.

Je Fais déjà la première question , je terminerai la seconde demain :
Solution :

Spoiler:

Mehdi.O a écrit:

C'est bizzare, j'ai refait le schéma 4 fois. [AM) est extérieure à l'angle PÂQ.

Les 2 cercles sont tangents intérieurement !
Problème 10 :
Soit ABC un triangle , M un point de [AB] et N un point de [BC] tel que : 2CN.AB=AM.BC
Soit P un point de [AC]
Démontrer que :
(MN)et (NP) sont perpendiculaires si et seulment si (PN) est la bissectrice de <MPC

Oups demain je verrais avec ça doit pas être bien différent ( enfin j'espère ) et wakha fike ntaya .

Solution au problème 10:

Montrons d'abord la 1ere implication : MNP est un triangle rectangle => (PN) est bissectrice de l'angle <MPC:
On a cos(<MPN)=NP/MP.
En utilisant la loi du sinus dans les triangles AMP et NPC, on trouve :
sinA/MP=sinAPM/AM et sinC/NP=sinNPC/NC.
ainsi cosMPN=(NC.sinC.sinAPM)/(AM.sinNPC.sinA)=1/2sinC/sinA.BC/AB.sinAPM/sinNPC=1/2sinAPM/sinNPC.
Et on sait que APM=180°-(NPC+MPN) donc sinAPM=sin(NPC+MPN)=sinNPC.cosMPN+sinMPN.cosNPC
en remplacant on trouve : cosMPN.sinNPC=sinMPN.cosNPC=> tan NPC=tan MPN
il s'ensuit que [PN) est bissectric de l'angle MPC

Maintenant montrons la deuxieme implication: [PN) est bissectrice de l'angle MPC => MPN rectangle:

Nous avons sinAPM=sin(180°-APM)=sin(2MPN)=2sinNPC.cos MPN
ainsi cos MPN=1/2sinAPM/sinNPC, et d'après ce qui est en desous : cos MPN=NP/MP, ainsi MPN est triangle rectangle.
Ce qui achève la preuve


Problème 11:

Soit ABC un triangle rectangle en A, une droite (D) perpendiculaire à (BC) coupe (AB) en M, et (AC) en N. Les cercles circonscrits de BNC et BMC coupent respectivement (AB) en P et (AC) en Q.
Montrer que l'angle <PQM reste constant quand (D) change

Solution :

Spoiler:

Problème 12 :
ABC un triangle Soit ABQP et ACDE deux carrés éxtérieur au triangle soit I le milieu de BC et N et M les point d'intersections des diagonal des carrés MQ le triangle IMN est réctangle et Isocèle en I