Marathon De Géométrie

Problème 27:
Soit ABC un triangle, le centre de son cercle inscrit est I. Les bissectrices [AI) et [BI) et [CI) coupent BC,AC et AB en D et E et F respectivement. La médiatrice de [AD] coupe BI et CI en M et N respectivement. Montrez que les points A,I,M et N sont cocycliques.

Mehdi , Je t'avais dit que Je posterai ma solution au problème 26 :
Il est facile de remarquer que les points (O,O',C,E) et (C,A,A',E) sont cocycliques => angle(EAA')=ang(EOO') => (AA') (OO') et (BB') sont parallèles.
Notons F le point d'intersection de (AA') et (C') => 90=B'EO'+BEO=EB'O'+B'FE ==> [B'F] est un diamètre de (C') => (A'B') et (AA') sont perpendiculaires . et puisque (AB) et (AA') sont aussi perpendiculaires ( on peut la prouver de la meme manière ) ==> (AB) // (A'B') => AA'BB' est un rectangle.

Mehdi.O a écrit:

Problème 27:
Soit ABC un triangle, le centre de son cercle inscrit est I. Les bissectrices [AI) et [BI) et [CI) coupent BC,AC et AB en D et E et F respectivement. La médiatrice de [AD] coupe BI et CI en M et N respectivement. Montrez que les points A,I,M et N sont cocycliques.

Ilsemblerait que personne n'a trouvé la solution.
Merci de proposer une, si tu l'as.

Suite à la demande de nmo je pospose la solution du problème 27:
Solution au problème 27:

Notons M_1 l'intersection du cercle circonscrit de ABD avec [BI), nous avons angle{DAM_1}=angle{M_1BD}=angle{M_1BA}=angle{ADM_1} ce qui implique que AM_1=DM_1, soit M_1 appartient à la médiatrice de [AD], ce qui coincide avec M, ainsi M=M_1 et ainsi le quadrilatère AMDB est inscriptible, de même on trouve que ANDC est inscriptible.
Et ainsi : angle{AMI}+angle{ANI}=angle{AMB}+angle{ANC}=angle{ADB}+angle{ADC}=180.
Ainsi les points A,N,I et M sont cocycliques.

Mehdi.O a écrit:

Suite à la demande de nmo je pospose la solution du problème 27:
Solution au problème 27:
Notons M_1 l'intersection du cercle circonscrit de ABD avec [BI), nous avons angle{DAM_1}=angle{M_1BD}=angle{M_1BA}=angle{ADM_1} ce qui implique que AM_1=DM_1, soit M_1 appartient à la médiatrice de [AD], ce qui coincide avec M, ainsi M=M_1 et ainsi le quadrilatère AMDB est inscriptible, de même on trouve que ANDC est inscriptible.
Et ainsi : angle{AMI}+angle{ANI}=angle{AMB}+angle{ANC}=angle{ADB}+angle{ADC}=180.
Ainsi les points A,N,I et M sont cocycliques.

Très bonne solution.
Personnellement, j'ai silloné vainement plusieurs chemins et j'ai gaspillé une très grande durée sans résultats.
Encore une fois, merci pour la solution.
Je crois que c'est à toi de proposer un nouveau problème.

si Mehdi.O le permé, je propose :
Problème 28 :
Soit ABC un triangle et soient D et E des points sur [AB] et [AC], respectivement, tels que (DE) soit parallèle à (BC). Soit P un point quelconque intérieur au triangle ADE, et soient F et G les intersections de (DE) avec (BP) et (CP) respectivement. Soit Q la seconde intersection des cercles circonscrits aux triangles PDG et PFE. Prouver que A,P et Q sont colinéaires.

Solution au problème 28:

Spoiler:

Problème 30:

Soit ABC un triangle rectangle en A, soit D la projection orthogonale de A sur (BC).

La bissectrice de l'angle <BAD coupe le côté [BC] en E.

La parallèle à (AE) passant par C coupe (AD) en F.

Montrer que (EF) recoupe (AB) en son milieu.

Difficil bon courage

J'ai rien dit =)

Math lady solution posté dans le forum du tronc commun

@math-lady : Prière de supprimer ton problème, le problème de ali-mes est encore en jeu.

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 29:

Spoiler:

Il me parait Juste ; Poste ton problème

Je n'ai pas de problèmes à proposer libre à quelqu'un de proposer un problème ( de niveau ) ...

Mehdi.O a écrit:

Je n'ai pas de problèmes à proposer libre à quelqu'un de proposer un problème ( de niveau ) ...

Je Poste un ; J’espère qu’il soit de niveau
Problème 30:
Deux triangles équilatéraux sont inscrits dans un cercle de rayon r. Soit "A" l’aire de la partie contenant tous les points intérieurs aux deux triangles. Montrer que

Bon, il est clair que l'activité de ce topic n'est plus comme avant, d'autant plus que le problème 30 est un problème de Shortlist, pour revivre je propose ce problème qui ( je crois ) sera à la portée de plusieurs forumistes, et j'espère que la participation sera plus accrue, vu que le 3ème et 4ème test approchent ainsi que les APMO, sans oublier le stage 2, on espère avoir de résultats honorants aux IMO cette année, mais la participation des forumistes n'est pas aussi active que ceux de l'an dernier. J'ai aussi eu l'idée de créer un topic afin de nous préparer de plus en plus aux phases qui nous restent cette année afin d'améliorer notre niveau et qui sera surjectif on entamera des problèmes d'inégalités, équations fonctionelles, géométrie, arithmétique et combinatoire ,et ( pourquoi pas ) pouvoir aborder des problème du niveau des olympiades internationales, j'attend vos confirmations si vous êtes intéressés. Bref, voici le problème 30 qui assez abordable pour remplacer le précédent :
Problème 30 :
Soit ABC un triangle t.q : BÂC#90, O le centre de son cercle circonscrit et (C) le cercle circonscrit de BOC. Supposons que (AB) intersecte (C) en P#B, et (AC) intersecte (C) en Q#C. Et N un point diamétralement opposé à O dans le cercle (C) ( i.e : ON est un diamètre de (C)). Montrer que : APNQ est un parallélogramme.

jolie initiative !

Solution au problème 30:

On a:



.

Et on a [ON] est un diamètre dans (C), donc: , et le triangle OBC est isocèle donc: .

D'où:
.

Il s'en suit que le quadrilatère APNQ est un parallélogramme car ses angles opposés sont égaux.

Je propose ce problème:

Problème 31:
Soit ABC un triangle, considérons le point B' tel que [BB'] est un diamètre dans le cercle circonscrit au triangle ABC, soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC, et M le point de contact du cercle inscrit au triangle ABC avec le côté AC, on construit les points K et L sur les côtés AB et BC respectivement tel que BK=MC et LB=AM.
Montrer que (B'I) et (LK) sont perpendiculaires.

Mehdi.O a écrit:

Bon, il est clair que l'activité de ce topic n'est plus comme avant, d'autant plus que le problème 30 est un problème de Shortlist, pour revivre je propose ce problème qui ( je crois ) sera à la portée de plusieurs forumistes, et j'espère que la participation sera plus accrue, vu que le 3ème et 4ème test approchent ainsi que les APMO, sans oublier le stage 2, on espère avoir de résultats honorants aux IMO cette année, mais la participation des forumistes n'est pas aussi active que ceux de l'an dernier. J'ai aussi eu l'idée de créer un topic afin de nous préparer de plus en plus aux phases qui nous restent cette année afin d'améliorer notre niveau et qui sera surjectif on entamera des problèmes d'inégalités, équations fonctionelles, géométrie, arithmétique et combinatoire ,et ( pourquoi pas ) pouvoir aborder des problème du niveau des olympiades internationales, j'attend vos confirmations si vous êtes intéressés. Bref, voici le problème 30 qui assez abordable pour remplacer le précédent :
Problème 30 :
Soit ABC un triangle t.q : BÂC#90, O le centre de son cercle circonscrit et (C) le cercle circonscrit de BOC. Supposons que (AB) intersecte (C) en P#B, et (AC) intersecte (C) en Q#C. Et N un point diamétralement opposé à O dans le cercle (C) ( i.e : ON est un diamètre de (C)). Montrer que : APNQ est un parallélogramme.

Bonne initiative , la deuxième phase des olympiade pour première approche aussi,ça sera un bon entrainement

boubou math a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Bon, il est clair que l'activité de ce topic n'est plus comme avant, d'autant plus que le problème 30 est un problème de Shortlist, pour revivre je propose ce problème qui ( je crois ) sera à la portée de plusieurs forumistes, et j'espère que la participation sera plus accrue, vu que le 3ème et 4ème test approchent ainsi que les APMO, sans oublier le stage 2, on espère avoir de résultats honorants aux IMO cette année, mais la participation des forumistes n'est pas aussi active que ceux de l'an dernier. J'ai aussi eu l'idée de créer un topic afin de nous préparer de plus en plus aux phases qui nous restent cette année afin d'améliorer notre niveau et qui sera surjectif on entamera des problèmes d'inégalités, équations fonctionelles, géométrie, arithmétique et combinatoire ,et ( pourquoi pas ) pouvoir aborder des problème du niveau des olympiades internationales, j'attend vos confirmations si vous êtes intéressés. Bref, voici le problème 30 qui assez abordable pour remplacer le précédent :
Problème 30 :
Soit ABC un triangle t.q : BÂC#90, O le centre de son cercle circonscrit et (C) le cercle circonscrit de BOC. Supposons que (AB) intersecte (C) en P#B, et (AC) intersecte (C) en Q#C. Et N un point diamétralement opposé à O dans le cercle (C) ( i.e : ON est un diamètre de (C)). Montrer que : APNQ est un parallélogramme.

Bonne initiative , la deuxième phase des olympiade pour première approche aussi,ça sera un bon entrainement

Euh ça sera pour les 2ème BAC en quête de se préparer pour les IMO , mais les premières sont aussi les bienvenus bien évidemment, ( j'attends la confirmation de quelqu'un en terminale .. )

ali-mes a écrit:

jolie initiative !

Solution au problème 30:

On a:



.

Et on a [ON] est un diamètre dans (C), donc: , et le triangle OBC est isocèle donc: .

D'où:
.

Il s'en suit que le quadrilatère APNQ est un parallélogramme car ses angles opposés sont égaux.

Je propose ce problème:

Problème 31:
Soit ABC un triangle, considérons le point B' tel que [BB'] est un diamètre dans le cercle circonscrit au triangle ABC, soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC, et M le point de contact du cercle circonsccrit au triangle ABC avec le côté AC, on construit les points K et L sur les côtés AB et BC respectivement tel que BK=MC et LB=AM.
Montrer que (B'I) et (LK) sont perpendiculaires.

C'est impossible ça, est-ce-que tu insinues le cercle inscrit ??

Mehdi.O a écrit:

ali-mes a écrit:

jolie initiative !

Solution au problème 30:

On a:



.

Et on a [ON] est un diamètre dans (C), donc: , et le triangle OBC est isocèle donc: .

D'où:
.

Il s'en suit que le quadrilatère APNQ est un parallélogramme car ses angles opposés sont égaux.

Je propose ce problème:

Problème 31:
Soit ABC un triangle, considérons le point B' tel que [BB'] est un diamètre dans le cercle circonscrit au triangle ABC, soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC, et M le point de contact du cercle circonsccrit au triangle ABC avec le côté AC, on construit les points K et L sur les côtés AB et BC respectivement tel que BK=MC et LB=AM.
Montrer que (B'I) et (LK) sont perpendiculaires.

C'est impossible ça, est-ce-que tu insinues le cercle inscrit ??

Désolé , c'est plutôt le cercle inscrit ! Je vais éditer ...

Mehdi.O a écrit:

Bon, il est clair que l'activité de ce topic n'est plus comme avant, d'autant plus que le problème 30 est un problème de Shortlist, pour revivre je propose ce problème qui ( je crois ) sera à la portée de plusieurs forumistes, et j'espère que la participation sera plus accrue, vu que le 3ème et 4ème test approchent ainsi que les APMO, sans oublier le stage 2, on espère avoir de résultats honorants aux IMO cette année, mais la participation des forumistes n'est pas aussi active que ceux de l'an dernier. J'ai aussi eu l'idée de créer un topic afin de nous préparer de plus en plus aux phases qui nous restent cette année afin d'améliorer notre niveau et qui sera surjectif on entamera des problèmes d'inégalités, équations fonctionelles, géométrie, arithmétique et combinatoire ,et ( pourquoi pas ) pouvoir aborder des problème du niveau des olympiades internationales, j'attend vos confirmations si vous êtes intéressés.

Je viens de jeter un coup d'oeuil sur tes deux messages.
Certes, les amateurs de matématiques actifs et qualifiés pour le deuxième stage ne sont que trois: moi (nmo), toi (Medi.O) et lui (az_360) (Cela me rapelle la leçon des pronoms en primaire). Même Dijkschneier n'est pas actif.

Mehdi.O a écrit:

Euh ça sera pour les 2ème BAC en quête de se préparer pour les IMO , mais les premières sont aussi les bienvenus bien évidemment, ( j'attends la confirmation de quelqu'un en terminale .. )

En effet, j'ai un penchant pour les matématiques et j'admire le défi...
Le sujet que tu as déjà ouvert dans la section de terminale ne peut pas résister; son sort fatal est de mourir.
Si je vais participer, il faut éviter les fautes commises dans ce topic ou bien changer notre stratégie de préparation.
Je propose de faire un tournoi, à l'instar des JOPSMs, comme alternative. (Je pense que l'idée est réalisable vu le nombre médiocre des intéréssés.)
Je te laisse assumer la responsabilité de l'organisation, et à bientôt...

Salut !
Je suis tout aussi intéressé que vous (et je passe le deuxième stage ^^) !