Marathon

alidos a écrit:

l'exercice  de Mr  BTBICL  n'est qu'un Shortlist 2009  
Exercice 24
soit (a,b,c) des réels positifs  prouver que

Je propose une approche que j'espère être juste:
L'inégalité proposée s'écrit: .
On pose: , et . On a: .
On pose encore: , .
L'inégalité devient: .
Ou encore: .
Soit ou bien .
Et ainsi: .
On pose .
L'inégalité devient: , soit après simplification: .
On a: , il suffit donc de montrer que: ou bien .
Je n'ai pas pus démontrer ce résultat, mais j'ai pensé à une chose: puisque l'ingalité de départ est homogène, on peut supposer une contrainte sur les variables initiales, ce qui va faciliter la tâche...
Sauf erreurs.

continue...

younesmath2012 a écrit:

exercise 25:

Je propose une solution:
Vu l'homogénité de l'inégalité, on peut supposer que: .
L'inégalité proposée s'écrit ou encore après factorisation.
Ou bien après simplification.
Mais, l'inégalité est symétrique: on peut donc supposer que .
On a [], donc et ainsi: et de même pour les autres.
D'où: .
Et il reste à démontrer que: ou encore .
Cela est vrai, car: et découle du fait que ( et ).
Le cas d'égalité est bien évidemment: en plus des permutation, vu la symétrie du problème.
Sauf erreurs.

Je propose un nouveau problème:
Problème 26:
Soit une fonction qui vérifie: .
Montrez que: .
Bonne chance.

est ce que vous etes sur Mr''nmo'' que c'est juste ?

car si oui on aura

younesmath2012 a écrit:

est ce que vous etes sur Mr''nmo'' que c'est juste ?
car si oui on aura

Oui, je suis sûr de l'énoncé.
Tu peux vérifier ici: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=541208.

Je propose ma solution pour Problème 26:

a vous de propose un nouveau exercice

qqs x,y dans R, |f(x)|=<2-|sin(x-y)+sin(y)|=2-2|sin(x/2)cos(x/2-y)|

on pose g(y)=2-2|sin(x/2)cos(x/2-y)|
Montrer que g(y)=<1+cos(x)

Je pense que le resultat que vous avez propose Mr abdelbaki.attioui est faux prend y=x/2+pi/2
donc ce que vous propose est equivalent a 1=<cos(x) pour tout x ce qui est clairement faux

Je propose un problème, qui est plus difficile:
Problème 27:
Soit un entier.
Déterminez toutes les fonctions qui satisfont: et .
Bonne chance.
P.S: Une autre solution du problème 26 est proposée dans le site déjà cité.

Je propose ma solution pour l'exercice 24

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?On&space;\&space;prouve&space;\&space;facilement&space;\&space;par&space;\&space;reccurence&space;\&space;que&space;\&space;f(x^{k})=f(x)^{k}&space;\\&space;Donc&space;\&space;P(x,1)&space;\&space;implique&space;\&space;que&space;\&space;f(x^{k})=xf(x)&space;\\&space;Par&space;\&space;la&space;\&space;remarque&space;\&space;precedante&space;\&space;on&space;\&space;deduit&space;\&space;que&space;\&space;f(x)^{k-1}=x&space;\&space;et&space;\&space;f(x^{k-1})=x&space;\&space;et&space;\&space;f(x^{k-1})=f(x)^{k-1}&space;\\&space;D'ou&space;\&space;on&space;\&space;deduit&space;\&space;que&space;\&space;k&space;\&space;doit&space;\&space;etre&space;\&space;paire&space;\&space;puisque&space;\&space;x&space;\leq&space;0&space;\Rightarrow&space;\&space;f(x)^{k-1}\leq&space;0&space;\\&space;Maintenant&space;\&space;on&space;\&space;deduit&space;\&space;que&space;\\&space;f(x)=\sqrt[k-1]{x}&space;\&space;si&space;\&space;x\geq&space;0&space;\\&space;f(x)=-\sqrt[k-1]{-x}&space;\&space;si&space;\&space;x&space;\leq&space;0&space;\\&space;Synthese&space;:&space;\&space;les&space;\&space;solutions&space;\&space;sont&space;\\&space;f(x)=\sqrt[k-1]{x}&space;\&space;si&space;\&space;x\geq&space;0&space;\\&space;f(x)=-\sqrt[k-1]{-x}&space;\&space;si&space;\&space;x&space;\leq&space;0\\&space;et&space;\&space;f(x)=0&space;\&space;pour&space;\&space;tout&space;\&space;x[/img]

a vous de proposer un nouveau exercice

.

.

[[img]<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\[&space;\frac{a}{b^2&plus;1}&plus;\frac{b}{c^2&plus;1}&plus;\frac{c}{a^2&plus;1}\geq\frac{3}{4}(a\sqrt{a}&plus;b\sqrt{b}&plus;c\sqrt{c})^2&space;\]\sum" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\[&space;\frac{a}{b^2&plus;1}&plus;\frac{b}{c^2&plus;1}&plus;\frac{c}{a^2&plus;1}\geq\frac{3}{4}(a\sqrt{a}&plus;b\sqrt{b}&plus;c\sqrt{c})^2&space;\]\sum" title="\[ \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\geq\frac{3}{4}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2 \]\sum" /></a>[/img]

a vous de proposer un nouveau exercice

younesmath2012 a écrit:

probleme 29:

Voici une démarche à suivre lorsqu'il faut profiter de l'outil informatique:
On pose et .
On a , donc .
On a encore: , donc .
On a finalement , donc .
La condition initiale devient alors: .
Qui s'écrit encore: .
Vu comme une équation du second degré en p, son discriminent est: , qui est strictement positif.
(Ces résultats sont confirmé par wolfram alpha).
***Si: .
L'inégalité à démontrer s'écrit: ou bien .
Ce qui est vrai: http://www.wolframalpha.com/input/?i=s^2+-+s+-+2\left%28\frac{4+s^2-\sqrt{8+s^4%2B16+s^3%2B17+s^2%2B4+s%2B68}%2B3+s%2B2}{4}\right%29+\geq+0 .
***Et si .
L'inégalité à démontrer s'écrit: ou bien .
Ce qui n'est pas vrai: http://www.wolframalpha.com/input/?i=s^2+-+s+-+2\left%28\frac{4+s^2%2B\sqrt{8+s^4%2B16+s^3%2B17+s^2%2B4+s%2B68}%2B3+s%2B2}{4}\right%29+\geq+0 .
Il faut prendre le premier p pour avoir le résultat.
Cependant, je ne sais pas pourquoi?

Je propose un nouveau problème, respectant les règles du jeu:
Problème 30:
Déterminez tous les fonctions qui satisfont .
Bonne chance.
P.S: même s'il n'y a plus de membres actifs...

Soit P(x,y) l'assertion,
P(x,1/x) donne f(x+1/x)²=f(x)²+2f(1)+f(1/x)² (*)
Soit la fonction Q(x)=f(x)²
L'équation devient Q(x+1/x)=Q(x)+Q(1/x)+2f(1) (**)
On va montrer qu'il n'y a qu'une seule solution f(x)=cx ou Q₁(x)=(cx)² et c'est celle qui saute aux yeux dès le premier regard.
Pour cela supposons qu'il en existe une autre et soit la fonction P(x)=Q₁(x)-Q₂(x)

En soustrayant les deux équations des deux fonctions on obtient : P(x+1/x)=P(x)+P(1/x) ce qui donne P(x)=kx pour tout x avec k dans IR.

Donc Q₁(x)=Q₂(x)+kx. Ce qui veut dire que l'équation admet au plus deux solutions, ainsi l'autre solution éventuelle pour (**) est Q(x)=cx²+kx, Cependant, en prenant en compte le fait que Q(x)>=0 pour tout x dans IR cette solution n'est plus valable pour (*).

La solution restante est donc f(x)=kx
Résumé : f(x)=kx pour tout k dans IR

nmo a écrit:

Spoiler:

Cependant, je ne sais pas pourquoi?

C'est parce que 4p =< s² < 2+3s+4s²+racine(...+68) . Ce cas est donc impossible parcequ'il n'y a pas de valeurs de x et y qui satisfont le deuxième " si "